Enunciado

Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.

g) f x = cosh ⁡ x ,   [ - 2 ,   2 ]

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função f de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

f x = cosh ⁡ x

f ' x = s e n h   x

Aqui vale ressaltar que como são funções hiperbólicas, elas são definidas como:

cosh ⁡ x = e x + e - x   2

s e n h   x = e x - e - x 2

Passo 2

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

f ' x = e x - e - x 2 = 0

Esse resultado só é válido para:

e x - e - x 2 = 0

e x = 1 e x

e 2 x = 1 ∴ x = 0

Sendo assim, x = 0 é um ponto crítico da nossa função! Ademais, como nosso intervalo foi estabelecido em - 2 ,   2 e como acabamos de descobrir que x = 0 é um ponto crítico, vamos substituir esses valores na função para determinar os máximos e mínimos, saca só:

f - 2 = e - 2 + e 2   2 ≈ 3,76219

f 0 = e 0 + e 0   2 = 1

f 2 = e 2 + e - 2   2 ≈ 3,76219

Portanto, pelos resultados:

Máximos da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : ( - 2 ,   3,76219 ) e 2 ,   3,76219 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : ( 0 ,   1 ) .

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Máximos da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : ( - 2 ,   3,76219 ) e 2 ,   3,76219 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : ( 0 ,   1 ) .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(Continuação do Exercício 13.)c. Amplie para encontrar uma janela de visualização que mostre a presença de valores extremos locais em x = 5 7 e x = 2 3 .
Nos Exercícios 7 e 8, determine os valores máximo e mínimo absolutos de f sobre o intervalo.
a. Dê um exemplo de uma função derivável f cuja primeira derivada seja zero em algum ponto c , embora f não tenha nem um máximo local nem um mínimo local em c . b. Como isso é consistente com o Teorem
Quais são os valores máximo e mínimo da função y = | x | no intervalo - 1 ≤ x1 ? Observe que o intervalo não é fechado.Isso é consistente com o teorema do valor extremo para funções contínuas? Por quê
Nos Exercícios 7 e 8, determine os valores máximo e mínimo absolutos de f sobre o intervalo.