Enunciado

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Encontrar a massa total e o centro de massa de uma barra de 5 m de comprimento, sabendo que a densidade linear num ponto é uma função do 1º grau da distância total desse ponto ao extremo direito da barra. A densidade linear no extremo direito é 5 kg/m e no meio da barra é 2 kg/m.

Passo 1

Escrevemos a expressão para a densidade linear em função (1º grau) da posição x na barra da seguinte maneira:

λ x = a ∙ 5 - x + b

Sabemos que na posição x = 5   m , extremo direito da barra, λ = 5   k g / m . Escrevendo isso com números:

λ 5 = a ∙ 5 - 5 + b = 5

∴ b = 5

Também sabemos que na posição x = 2,5   m , bem no meio da barra, λ = 2   k g / m . Escrevendo isso com números:

λ 2,5 = a ∙ 5 - 2,5 + b = 2

λ 2,5 = 2,5 a + 5 = 2

2,5 a = - 3

∴ a = - 1,2

Agora já temos definida nossa função que descreve o comportamento da densidade linear nessa barra. Já podemos trabalhar com as integrais!

Passo 2

Relembrando dos exercícios anteriores, temos que d m = λ ∙ d x . Integrando ambos os lados da sentença, vamos obter:

M = ∫ 0 5 λ ∙ d x

No lugar de λ a gente coloca a função que ele representa: 5 x 2 + 3 , e integramos. Vamos ter:

M = ∫ 0 5 [ - 1,2 ∙ 5 - x + 5 ] d x

M = ∫ 0 5 ( - 6 + 1,2 x + 5 ) ∙ d x

M = ∫ 0 5 ( 1,2 x - 1 ) ∙ d x

M = 1,2 2 ∙ x 2 - x 0 5

∴ M = 10   k g

Passo 3

O centro de massa, x - , é dado a partir da seguinte integral:

x - = 1 M ∙ ∫ x ∙ λ ∙ d x

Pro nosso caso, em que conhecendo a função que descreve λ , e o limite de integração, teremos:

x - = 1 M ∙ ∫ 0 5 x ∙ ( 1,2 x - 1 ) ∙ d x

x - = 1 10 ∙ ( 1,2 3 x 3 - 1 2 ∙ x 2 ) 0 5

x - = 1 10 ∙ ( 1 5 0 3 - 25 2 )

∴ x - = 3,75   c m

Resposta

∴ M = 10   k g

∴ x - = 3,75   c m

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