Enunciado

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Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

a) f x = 7 x 2 - 6 x + 3

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Sendo assim, derivando nossa função para obter os pontos críticos, obteremos:

f ' x = 14 x - 6

Igualando a zero:

14 x - 6 = 0

14 x = 6 ∴ x = 3 7

Então apenas x = 3 7 é um ponto crítico da nossa função.

Passo 2

Uma vez descoberto os pontos críticos da nossa função, devemos utilizar o teste da derivada segunda para saber se os pontos são de máximos ou de mínimos, tudo bem? Se a derivada segunda no ponto crítico for MAIOR do que zero, então se trata de um ponto de mínimo. Caso contrário, se a derivada segunda no ponto crítico for MENOR do que zero, então se trata de um ponto de máximo. Sendo assim, se derivarmos nossa função pela segunda vez, teremos:

f ' ' x = 14 > 0

f ' ' 3 7 = 14 > 0

Portanto, podemos concluir que x = 3 7 é um ponto de mínimo! Resumindo, temos que:

Pontos de máximo: Não existem.

Pontos de mínimo: x = 3 7 .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico podemos concluir que nosso resultado é bem satisfatório! Assim como calculamos, x = 3 7 é, de fato, um ponto de mínimo!

E essa é a nossa análise da função, pessoal!

Resposta

Pontos de máximo: Não existem.

Pontos de mínimo: x = 3 7 .

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