Enunciado

Encontrar um valor aproximado para a seguinte expressão :

3,99 2 + 4,01 2

Passo 1

Para resolver esse tipo de questão precisamos achar a equação do plano tangente em um determinado ponto, de modo que esse plano seja tangente a uma função que se assemelha a nossa expressão acima

f x , y = x 2 + y 2

Seja

F x , y , z =   x 2 + y 2 - z

Cálculo do vetor gradiente

∂ F ∂ x = x x 2 + y 2

∂ F ∂ y = y x 2 + y 2

∂ F ∂ y = - 1

∇ F x , y , z = x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 , - 1

No ponto em que x = 4 e y = 4, temos que z = 4 2 . Esses pontos são escolhidos de modo a me possibilitar calcular os valores das expressões acima

∇ F 4 , 4 , 4 2 = 2 2 , 2 2 , - 1

A equação do plano tangente nesse ponto será:

x - 4 , y - 4 , z - 4 2 ∙ 2 2 , 2 2 , - 1 = x 2 + y 2 - z = 0    

Passo 2

Agora que temos a equação do plano tangente lembramos que ele tem aproximadamente os mesmos valores que nossa função tem para valores próximos do ponto de tangencia

Substituindo x = 3,99 e y = 4,01 na nossa equação do plano temos

3,99 2 + 4,01 2 - z = 0         ⟹ z = 5,6568

Resposta

5,6568

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Prove que as funções dadas são diferenciáveis.b) f ( x , y )= x + y
Prove que as funções dadas são diferenciáveis.e) f ( x , y )= 1 x + y
Prove que as funções dadas são diferenciáveis.d) f ( x , y )= 1 x y
Prove que a função dada é diferenciável: f x , y = x y
1. Verifique que a função dada é diferenciável.c) f x , y = x 2 y