Prove que a função dada é diferenciável:

f(x, y) = xy

Passo 1

Para provar que uma função é diferenciável num ponto x , y , basta mostrar duas coisas:

  1. As derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem em x , y ; e

2) O limite lim h , k → 0,0 ⁡ E k , h h 2 + k 2 deve ser igual a zero, onde E k , h = f x + h , y + k - f x , y - h ∂ f ∂ x x , y - k ∂ f ∂ y x , y .

Assim, neste exercício devemos calcular ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y , e a seguir avaliar esse limite maluco ali.

Se por acaso o limite der zero, significará que a f é diferenciável em x , y .

Passo 2

Vamos primeiro obter as derivadas parciais da f :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x y = y

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x y = x

Show, matamos a primeira condição!

Passo 3

Agora, em posse das derivadas, vamos avaliar a função maluca   E k , h :

E k , h = f x + h , y + k - f x , y - h ∂ f ∂ x x , y - k ∂ f ∂ y x , y

Como vimos no passo anterior, ∂ f ∂ x x , y = y e ∂ f ∂ y x , y = x , então temos que

E k , h = f x + h , y + k ⏟ x + h y + k - f x , y ⏟ x y - h ∂ f ∂ x x , y ⏟ h y - k ∂ f ∂ y x , y ⏟ k x

Agora vamos ajeitar isso dai!

E k , h = x + h y + k - ( x y + h y + k x )

E k , h = x + h y + k - y x + h + k x

Colocando ( x + h ) em envidência, temos

E k , h = x + h y + k - y - k x

Cortando esses y ' s aí ficamos com

E k , h = x + h k - k x

Fazendo essa distributivazinha ficamos com

E k , h = k x + k h - k x

Cancelando termos, obtemos simplesmente

E k , h = h k

Passo 4

Assim, o limite que devemos avaliar se torna:

lim h , k → 0,0 ⁡ E k , h h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h k h 2 + k 2

Para calcular o limite, vamos dividir numerador e denominador por h k , ficando com

lim h , k → 0,0 ⁡ 1 1 k 2 + 1 h 2

Agora sim! Note que, para h , k → 0,0 , o denominador tende a infinito, ou seja

l i m h , k → 0,0 1 ∞

lim h , k → 0,0 ⁡ E k , h h 2 + k 2 = 0

Acabamos de provar ambas as condições que precisávamos! Logo, f x , y = x y é diferenciável para todo x , y !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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