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Encontre f ' ( a ) .

f x = x 2 + 1 x - 2

Passo 1

Primeiro, temos que partir da definição de derivada em um ponto a qualquer, que é essa aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Começamos escrevendo quem é f ( a ) e quem é f ( a + h ) , dá uma olhada em como é que faz:

f x = x 2 + 1 x - 2

Fazendo x = a :

f a = a 2 + 1 a - 2

Agora, fazendo x = a + h :

f a + h = ( a + h ) 2 + 1 ( a + h ) - 2

Agora podemos substituir essas expressões no noss limite! Saca só:

f ' a = lim h → 0 ⁡ ( a + h ) 2 + 1 ( a + h ) - 2 - a 2 + 1 a - 2 h

Passo 2

Nosso próximo passo é arrumar um pouquinho o nosso limite! Bora lá:

f ' a = lim h → 0 ⁡ ( a + h ) 2 + 1 a + h - 2 - a 2 + 1 a - 2   . 1 h

Lembra que dividir por h é o mesmo que multiplicar por 1 h , ta bom? Arrumamos a primeira fração um pouco também, no denominador. Agora, temos que expandir o a + h 2 , que é um produto notável quadrado da soma, fechou? Esse cara aparece que só em cálculo, então fica com ele na cabeça o tempo todo! Vai ficar assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ a 2 + 2 a h + h 2 + 1 a + h - 2 - a 2 + 1 a - 2   . 1 h

Agora, temos que achar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre as duas frações. Vai ficar assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ a 2 + 2 a h + h 2 + 1 .   a - 2 - a 2 + 1 .   ( a + h - 2 ) a + h - 2 .   ( a - 2 )   . 1 h

Agora, vamos fazer as multiplicações, mas só no numerador, beleza? A gente vai desenvolver a parte a 2 + 2 a h + h 2 + 1 .   a - 2 e a parte a 2 + 1 .   ( a + h - 2 ) , saca só:

f ' a = lim h → 0 ⁡ a 3 + 2 a 2 h + a h 2 + a - 2 a 2 - 4 a h - 2 h 2 - 2 - ( a 3 + a 2 h - 2 a 2 + a + h - 2 ) a + h - 2 .   ( a - 2 )   . 1 h

Fazendo o jogo de sinal com a segunda parte do numerador:

f ' a = lim h → 0 ⁡ a 3 + 2 a 2 h + a h 2 + a - 2 a 2 - 4 a h - 2 h 2 - 2 - a 3 - a 2 h + 2 a 2 - a - h + 2 a + h - 2 .   ( a - 2 )   . 1 h

Ainda dando uma olhadinha no numerador, podemos cancelar a 3 com - a 3 , a com - a , - 2 a 2 com 2 a 2 e - 2 com 2 , resultando nisso aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 2 a 2 h + a h 2 - 4 a h - 2 h 2 - a 2 h - h a + h - 2 .   ( a - 2 )   . 1 h

Fazendo as continhas que sobram, fica assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ a 2 h + a h 2 - 4 a h - 2 h 2 - h a + h - 2 .   ( a - 2 )   . 1 h

Pronto, já demos uma arrumadinha na nossa expressão! Vamos deixar ela assim por enquanto.

Passo 3

Se substituirmos h = 0 para tentar resolver o limite, encontraremos a indeterminação 0 0 . A gente pode resolver isso se cancelarmos um h do numerador com o h do denominador! Essa é uma jogada clássica para retirar indeterminações desse tipo em frações, então grava ela na cabeça!

Vamos colocar h em evidência na expressão para poder cancelar com o 1 h :

f ' a = lim h → 0 ⁡ a 2 + a h - 4 a - 2 h - 1 a + h - 2 .   ( a - 2 )   . h h

f ' a = lim h → 0 ⁡ a 2 + a h - 4 a - 2 h - 1 a + h - 2 .   a - 2

Olha aí, eliminamos a indeterminação! Não mexemos no denominador no passo anterior porque assim como tá a gente resolve o limite e tem menos trabalho. Por isso, sempre que der, deixe os termos se multiplicando desse jeito, ta bom? Com o tempo você vê que nesse estilo de questão é melhor não mexer no denominador, só no numerador para resolver mais rápido.

Vamos agora fazer a substituição h = 0 para resolver o limite. Saca só:

f ' a = a 2 + a   . 0 - 4 a - 2   .   0 - 1 a + 0 - 2 .   a - 2

f ' a = a 2 - 4 a - 1 a - 2 .   a - 2

f ' a = a 2 - 4 a - 1 a - 2 2

Foi! Essa questão já era! ;)

Resposta

Teremos que f ' a = a 2 - 4 a - 1 a - 2 2 .

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