Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 28
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Passo 1
Primeiro, temos que partir da definição de derivada em um ponto qualquer, que é essa aqui:
Começamos escrevendo quem é e quem é , dá uma olhada em como é que faz:
Fazendo :
Agora, fazendo :
Agora podemos substituir essas expressões no noss limite! Saca só:
Passo 2
Nosso próximo passo é arrumar um pouquinho o nosso limite! Bora lá:
Lembra que dividir por é o mesmo que multiplicar por , ta bom? Arrumamos a primeira fração um pouco também, no denominador. Agora, temos que expandir o , que é um produto notável quadrado da soma, fechou? Esse cara aparece que só em cálculo, então fica com ele na cabeça o tempo todo! Vai ficar assim:
Agora, temos que achar o mínimo múltiplo comum (MMC) entre as duas frações. Vai ficar assim:
Agora, vamos fazer as multiplicações, mas só no numerador, beleza? A gente vai desenvolver a parte e a parte , saca só:
Fazendo o jogo de sinal com a segunda parte do numerador:
Ainda dando uma olhadinha no numerador, podemos cancelar com , com , com e com , resultando nisso aqui:
Fazendo as continhas que sobram, fica assim:
Pronto, já demos uma arrumadinha na nossa expressão! Vamos deixar ela assim por enquanto.
Passo 3
Se substituirmos para tentar resolver o limite, encontraremos a indeterminação . A gente pode resolver isso se cancelarmos um do numerador com o do denominador! Essa é uma jogada clássica para retirar indeterminações desse tipo em frações, então grava ela na cabeça!
Vamos colocar em evidência na expressão para poder cancelar com o :
Olha aí, eliminamos a indeterminação! Não mexemos no denominador no passo anterior porque assim como tá a gente resolve o limite e tem menos trabalho. Por isso, sempre que der, deixe os termos se multiplicando desse jeito, ta bom? Com o tempo você vê que nesse estilo de questão é melhor não mexer no denominador, só no numerador para resolver mais rápido.
Vamos agora fazer a substituição para resolver o limite. Saca só:
Foi! Essa questão já era! ;)
Resposta
Teremos que .
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