Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = (2)/(3) x^(2 // 3)

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Porém, a função apresentada é a segunda derivada da função f . Dessa forma, deveremos encontrar a antiderivada duas vezes para chegar na função f .Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ') ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência, ficando com

f^(' ') (x) = (2)/(3) x^(2 // 3)

f^' (x) = ((2)/(3) x^(5 // 3))/((5)/(3)) + C = (2)/(5) x^(5 // 3) + C

Derivando f ’ ( x ) , temos

f^(' ') (x) = (2)/(3) x^(2 // 3)

Dessa forma, f^' ( x ) é a antiderivada de f^(' ') ( x ) .

Passo 3

Agora, iremos encontrar a antiderivada de f^' ( x ) utilizando novamente a regra da potência. Dessa forma, temos

f^' (x) = (2)/(5) x^(5 // 3) + C

f (x) = ((2)/(5) x^(8 // 3))/((8)/(3)) + C x + C_1 = (6)/(40) x^(8 // 3) + C x + C_1 = (3)/(20) x^(8 // 3) + C x + C_1

Derivando f ( x ) , temos

f^' (x) = (2)/(5) x^(5 // 3) + C

Dessa forma, encontramos nossa função f .

Resposta

f (x) = (3)/(20) x^(8 // 3) + C x + C_1

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