Enunciado

Encontre f .

f^' (x) = x^(- 1 // 3) , f (1) = 1 , f (- 1) = - 1

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . O que temos é:

f^' (x) = x^(- 1 // 3) , f (1) = 1 , f (- 1) = - 1

Deveremos encontrar a antiderivada. Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^' ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência, ficando com:

f^' (x) = x^(- 1 // 3)

f (x) = (x^((2)/(3)))/(2 // 3) + C = (3 x^((2)/(3)))/(2) + C

Passo 3

Derivando f ( x ) , temos:

f^' (x) = x^(- 1 // 3)

Dessa forma, encontramos nossa função f onde C é uma constante e f ( x ) é a antiderivada de f^' ( x ) . Podemos encontrar o valor da constante C utilizando a condição dada. Aplicando f (1) = 1 , temos

f (1) = (3 (1)^((2)/(3)))/(2) + C = 1

3 + 2 C = 2

C = - (1)/(2)

Ao aplicar f (- 1) = - 1 , chegamos em:

(3 (1)^((2)/(3)))/(2) + C = - 1

3 + 2 C = - 2 C = - (5)/(2)

Assim, teremos que:

Se x > 0 , então: f (x) = (3 x^((2)/(3)))/(2) - (1)/(2)

E se x

f (x) = (3 x^((2)/(3)))/(2) - (5)/(2)

Resposta

f (x) = (3 x^((2)/(3)))/(2) - (1)/(2) e f (x) = (3 x^((2)/(3)))/(2) - (5)/(2)

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