Enunciado

Encontre y ' e   y ' '

y = x 2 ⋅ l n ⁡ ( 2 x )

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, essa questão da pra gente a função

y = x 2 ⋅ l n ⁡ ( 2 x )

E pede pra que a gente encontre y ' e   y ' ' .

Ou seja, precisaremos das derivadas de primeira e de segunda ordem da função.

Pra fazer isso, basta derivar a função a primeira vez, encontrando a derivada de primeira ordem, e depois derivar o resultado que obtivermos novamente, assim encontraremos a derivada de segunda ordem.

Então é isso que fazermos. Mas perceba que nossa função é formada pela multiplicação de duas outras funções. Sendo assim, ela pode ser entendida como:

y = f x ⋅ g x

Sendo:

f x = x 2

E

g x = ln ⁡ 2 x

E sua derivação será calculada usando a regra do produto. Que diz o seguinte:

f ⋅ g ' = f ' g + f g '

Então precisaremos as funções f , g e de suas derivadas.

Vamos calcular tudo isso no passo a passo. Vem comigo que te mostro como!

Passo 2

Estamos olhando para a nossa função

y = x 2 ⋅ l n ⁡ ( 2 x )

Como:

y = f x ⋅ g x

Sendo:

f x = x 2

Sua derivada será calculada usando a regra do expoente. Assim:

f ' x = 2 x

E

g x = ln ⁡ 2 x

Mas aqui temos uma função dentro da outra, ou seja, uma função composta. Então sua derivada será calculada usando a regra da cadeia.

Sendo

g u = ln ⁡ u

E u = 2 x

Faremos a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro.

g ' u = 1 u u '

Ou seja:

g ' x = 1 2 x ⋅ 2

Que pode ser simplificado para

g ' x = 1 x

Agora basta substituir tudo que temos até aqui na regra do produto.

Passo 3

Sendo:

y ' = f ⋅ g ' = f ' g + f g '

Substituindo tudo ficamos com:

y ' = 2 x ⋅ ln ⁡ 2 x + x 2 ⋅ 1 x

E simplificando um pouco melhor, ficamos com:

y ' = x + 2 x   l n ⁡ ( 2 x )

Show, essa é nossa derivada de primeira ordem.

Passo 4

Agora, calcularemos y ' ' .

Para calcular esta derivada, basta derivarmos y ' . Nessa derivada usaremos a propriedade da derivada da soma e a regra do produto novamente, ficando com:

y ' ' = x ' + 2 x ⋅ ln ⁡ 2 x '

A primeira é bem simples,

x ' = 1

Já para a segunda, usaremos a regra do produto novamente:

Assim:

f ⋅ g ' = 2 x ⋅ ln ⁡ 2 x '

e

f ⋅ g ' = f ' g + f g '

Com:

f = 2 x

E

f ' = 2

E para

g = ln ⁡ 2 x

Já vimos que

g ' x = 1 x

Assim, nossa derivada de segunda ordem será:

y ' ' = 1 + 2 ⋅ ln ⁡ 2 x + 2 x ⋅ 1 x

Ajeitando um pouco, ficamos com:

y ' ' = 1 + 2 ⋅ ln ⁡ 2 x + 2

Que será:

y ' ' = 2 ln ⁡ 2 x + 3

E prontinho, essa é nossa derivada de segunda ordem da função y .

Resposta

y ' = x + 2 x ln ⁡ 2 x

y ' ' = 2 ln ⁡ 2 x + 3

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