Enunciado

Encontre as equações das retas tangentes à curva

y = ln ⁡ x x

Nos ponto 1,0   e e , 1 e . Ilustre fazendo o gráfico da curva e de suas retas tangentes

Passo 1

Faala meus queridos!! Nessa questão queremos encontrar a equação da reta tangente à curva

y = ln ⁡ x x

Nos pontos 1,0 e e , 1 e .

Para isso, vamos lembrar que a equação da reta tangente à uma curva num ponto x 0 , y 0 é dada por:

y - y 0 = m x - x 0

Onde m é a inclinação da reta tangente, que nada mais é que a derivada da função no ponto dado.

Ou seja, vamos precisar primeiro derivar essa função aí.

Passo 2

Primeiramente, devemos encontrar a derivada da função

f x = ln ⁡ x x

Aqui vamos usar a regra do quociente que diz que:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Então, usando a regra do quociente

f ' x = 1 x ⋅ x - ln ⁡ x ⋅ 1 x 2 = 1 - ln ⁡ x x 2

Passo 3

Agora, calcularemos os m ' s , para isso, basta substituirmos na expressão de f ' x ,     x = 1   e depois x = e , então

f ' 1 = m 1 = 1 - ln ⁡ 1 1 2 = 1 - 0 1 = 1

E

f ' e = m 2 = 1 - ln ⁡ e e 2 = 1 - 1 e 2 = 0

Passo 4

Agora que já calculamos os valores de m , podemos encontrar as equaçãoes das retas tangentes, primeiro calcularemos a equação da reta tangente ao ponto x 1 , y 1 = ( 1,0 ) . Então

y - y 1 = m 1 x - x 1

y = 1 ⋅ ( x - 1 )

y = x - 1   [ P a r a   o   p o n t o   1,0 ]

Passo 5

E agora para o ponto x 2 , y 2 = e , 1 e

y - y 2 = m 2 ( x - x 2 )

y - 1 e = 0 ⋅ x - e

y = 1 e   [ P a r a   o   p o n t o   e , 1 e ]

Passo 6

Agora, mostraremos o esboço dos gráficos

A reta quase horizontal em roxo é a reta tangente para o ponto e , 1 e .

A reta inclinada na diagonal em preto é a reta tangente para o ponto 1,0 .E a a curva em verde é a curva y .

Resposta

y = x - 1   P a r a   o   p o n t o   1,0

y = 1 e   [ P a r a   o   p o n t o   e , 1 e ]

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