Enunciado

Temperatura e o período de um pêndulo. Para oscilações de pequena amplitude (balanços curtos), é seguro modelar a relação entre o período T e o comprimento L de um pêndulo simples com a equação

T = 2 π L g

Em que g é a aceleração constante da gravidade no local em que o pêndulo se encontra. Se medirmos g em c m / s 2 , devemos usar L em centímetros e T em segundos. Se o pêndulo for de metal, seu comprimento variará de acordo com a temperatura, aumentando ou diminuindo a uma taxa aproximadamente proporcional a L . Usando os símbolos u para temperatura e k para a constante de proporcionalidade, temos

d L d u = k L

Considerando que esse seja o caso, mostre que a taxa de variação do período em relação à temperatura é k T / 2 .

Passo 1

Questões com texto grande podem nos confundir. Portanto, vamos extrair o máximo de informações possíveis dela. Temos uma função que relaciona o período T e o comprimento L de um pêndulo, e ambas as variáveis são funções da temperatura do ambiente u . A questão nos pede para calcular a taxa de variação do período em relação à u , isto é, devemos calcular:

d T d u = d d u 2 π L g

E para isto, sabemos que d L / d u = k L . Estas são todas as informações necessárias para que resolvamos esta questão. Vamos as contas então!

Passo 2

Vamos começar por continuar o cálculo d T / d u descrito no Passo 1. Assim, temos:

d T d u = d d u 2 π L g

d T d u = 2 π g d d u L

Precisamos agora obter a derivada de L em relação a u . Entretanto, devemos tomar bastante cuidado neste momento. Como L é função de u , devemos aplicar a regra da cadeia. Assim, se f L = L e L = g ( u ) , temos:

L ' = g u ' = d f d L ⋅ d L d u

L ' = 1 2 L ⋅ d L d u = k L 2 L

L ' = k L 2

Portanto, se substituirmos a derivada de L na função d T / d u , obtemos:

d T d u = 2 π g ⋅ k L 2

d T d u = k π g ⋅ L

Passo 3

Estamos quase finalizando a nossa questão. Basta provarmos agora que d T / d u = k T / 2 . E como faremos isto agora??? Simples! Na derivada d T / d u encontrada no final do Passo 2 não temos L nela? E nós não temos L como função de T ? Agora já sabe o que temos que fazer né? A partir da equação do período do pêndulo, temos:

T = 2 π L g

L = T g 2 π

Agora, se substituirmos em d T / d u , obtemos:

d T d u = k π g ⋅ L

d T d u = k π g ⋅ T g 2 π

d T d u = k T 2

E assim, provamos o que a questão nos pede!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

87. Suponha que as funções f e g e suas derivadas em relação a x tenham os seguintes valores em x = 2 e x = 3 .Determine as derivadas das seguintes combinações em relação a x usando os valores dados d
88. Suponha que as funções f e g e suas derivadas em relação a x tenham os seguintes valores em x = 0 e x = 1 .Determine as derivadas em relação a x das seguintes combinações usando o valor dado de x
Calcule y ' ' nos Exercícios 71-78.72. y = 1 - x - 1
Calcule y ' ' nos Exercícios 71-78.78. y = s e n ( x 2 . e x )
Nos Exercícios 51-70, determine d y d t . 69. y = 3 t . 2 t 2 - 5 4