Encontre f'(a) .

f(x) = raiz(1 - 2x)

Passo 1

Opa, vamos resolver essa questão! O enunciado pede pra a gente calcular f ' ( a ) sabendo que:

f x = 1 - 2 x

f ' ( a ) é a derivada de f ( x ) no ponto a , então a gente vai usar a definição de derivada, que diz que:

f ' a =   lim h → 0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como h → 0 não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso. Beleza?!

Passo 2

Temos que:

f a = 1 - 2 a

Substituindo:

f ' a =   lim h → 0 ⁡ 1 - 2 a + h - 1 - 2 a h

Vamos multiplicar e dividir pelo conjugado do numerador 1 - 2 a + h + 1 - 2 a :

  lim h → 0 ⁡ 1 - 2 a + h - 1 - 2 a h × 1 - 2 a + h + 1 - 2 a 1 - 2 a + h + 1 - 2 a

lim h → 0 ⁡ 1 - 2 a + h - 1 - 2 a h 1 - 2 a + h + 1 - 2 a = lim h → 0 ⁡ - 2 h h 1 - 2 a + h + 1 - 2 a

lim h → 0 ⁡ - 2 1 - 2 a + h + 1 - 2 a

Agora sim podemos calcular o limite:

lim h → 0 ⁡ - 2 1 - 2 a + h + 1 - 2 a = - 2 1 - 2 a + 1 - 2 a

= - 2 2 1 - 2 a

Então, simplificando, temos que:

f ' a = - 1 1 - 2 a

Prontinhoo!

Resposta

f ' a = - 1 1 - 2 a

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