Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = (x)/(sqrt(x^2 - 1))

Passo 1

Nós temos a função y = f (x) = (x)/(sqrt(x^2 - 1))

Passo 2

Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Nossa raiz precisa ser maior que zero, pois além de ser raiz, está na parte de baixo da fração, assim:

x^2 - 1 > 0

x^2 > 1

x > +- 1

D = ( - oo , 1 ) uu ( 1 , oo ) .

Não há interceptos.

f (- x) = - f ( x ) , então temos uma função ímpar, e a curva é simétrica em relação à origem.

Temos que:

underset(x -> oo)(lim) (x)/(sqrt(x^2 - 1)) = 1

Além disso, temos:

underset(x -> - oo)(lim) (x)/(sqrt(x^2 + 1)) = - 1

Assim, em y = +- 1 temo uma assíntota horizontal.

underset(x -> 1^+)(lim) f (x) = + oo e underset(x -> 1^-)(lim) f (x) = - oo

Então, em x = +- 1 há uma assíntota vertical.

Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:

f (x) = (x)/(sqrt(x^2 + 1))

f^' (x) = (sqrt(x^2 + 1) - x (x)/(sqrt(x^2 - 1)))/([ (x^2 - 1)^((1)/(2)) ] ²) = (x^2 - 1 - x^2)/((x^2 - 1)^((3)/(2))) = (- 1)/((x^2 - 1)^((3)/(2))) < 0

f é menor que zero em ( - oo , - 1 ) e ( 1 , oo ) .

Como a função apenas decresce, não há valores extremos.

Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:

f^(' ') (x) = ( - 1 ) - (3)/(2) (x^2 - 1)^(- (5)/(2)) 2 x = (3 x)/((x^2 + 1)^((5)/(2)))

Sendo assim, temos que f^(' ') (x) > 0 em (1 , oo) , então f é côncava para cima nesse intervalo, e f^(' ') (x) < 0 em ( - oo , - 1 ) , então f é côncava para baixo nessa parte.

Passo 3

Esboço da função:

Resposta

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