Enunciado

Encontre y ' e y ' ' :

y = ln ⁡ 1 + ln ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a primeira e a segunda derivada da função:

y = l n ⁡ ( 1 + ln ⁡ x )

Observe que nós temos uma função composta. Isso significa que vamos ter que usar a regra da cadeia na derivação. Lembra dela? A regra da cadeia é dada por:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Observe que nós derivamos a função de fora, aplicada na função de dentro, e multiplicamos pela derivada da função de dentro.

Lembrando que a derivada de ln ⁡ x é igual a 1 x , beleza? Vamos lá!!

Passo 2

A função que queremos derivada é

y = ln ⁡ 1 + ln ⁡ x

E estamos olhando pra ela como sendo uma função composta. Assim:

F x = f g x

f g x = ln ⁡ g x

E a regra da cadeia é

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

A derivada da de fora é a derivada de ln ⁡ , então sua derivada será dada por:

f ' g x = ln ⁡ g x ' = 1 g x

Como

g x = 1 + ln ⁡ x

ln ⁡ g x ' = 1 1 + ln ⁡ x

Show, e a derivada da função e dentro é

g ' x = 1 + ln ⁡ x ' = 1 x

Aplicando a regra da cadeia, teremos:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

ln ⁡ 1 + ln ⁡ x ' = 1 1 + ln ⁡ x ⋅ 1 x

Arrumando um pouco melhor, ficamos com:

y ' = 1 x + x ln ⁡ x

Passo 3

Agora vamos pegar esse resultado que encontramos no passo 2 e derivar novamente para obter a derivada de segunda ordem.

y ' ' = d d x 1 x + x ln ⁡ x

Observe que agora temos um quociente de funções, então vamos ter que aplicar a regra do quociente, dada por:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Aplicando para obter:

y ' ' = 1 ' x + x ln ⁡ x - 1 x + x ln ⁡ x ' x + x ln ⁡ x 2

Como a derivada da constante é zero, ficamos com:

y ' ' = - x + x ln ⁡ x ' x + x ln ⁡ x 2

E para derivar x + x ln ⁡ x , precisaremos deriva cada parcela separadamente.

x + x ln ⁡ x ' = x ' + x ln ⁡ x '

A primeira é de boa.

x ' = 1

Mas para

x ln ⁡ x '

Usaremos a regra do produto. Onde

u v ' = u ' v + u v '

Assim,

x ln ⁡ x ' = x ' ln ⁡ x + x   ln ⁡ x '

O que nos dá:

x ln ⁡ x ' = ln ⁡ x + x 1 x

Simplificando teremos:

x ln ⁡ x ' = 1 + ln ⁡ x

Encaixando isso em nossa derivada de segunda ordem, teremos:

y ' ' = - 1 + 1 + ln ⁡ x x + x ln ⁡ x 2

E simplificando, temos a nossa segunda derivada:

y ' ' = - 2 + ln ⁡ x x + x ln ⁡ x 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = 1 ( x + x ln ⁡ x )

y ' ' = - 2 + ln ⁡ x x + x ln ⁡ x 2

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