Enunciado

Use o fato de que

d d x x 6 - 2 x + x = 6 x 5 - 4 x + 1

para mostrar que a equação 6 x 5   -   4 x   +   1   =   0 tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0 ,   1 ) .

Passo 1

Olha, quando você ver um enunciado com uma derivada e pedindo para você provar que uma equação tem solução, você já pode desconfiar que ele quer que você use o Teorema de Rolle.

Ele diz que se uma função é contínua num intervalo ( a , b ) . Se:

f a = 0 ,     f b = 0

Então existe pelo menos um c dentro desse intervalo, onde f ' c = 0 .

Vamos pensar juntos como a gente pode usar esse teorema na nossa questão. Vem comigo!

Passo 2

Ele quer que a gente prove que a equação 6 x 5   -   4 x   +   1   =   0 tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0,1 ) Se a gente chamar:

f ' x = 6 x 2 - 4 x + 1 = 0

O Teorema diz que essa derivada pode zerar para um valor de x , se esse valor estiver dentro de um intervalo onde a função que foi derivada zere nos extremos desse mesmo intervalo.

Sabemos que a função derivada foi:

f x = x 6 - 2 x + x

Vamos ver os valores dela em 0 e 1 , os extremos do intervalo do enunciado:

f 0 = 0

f 1 = 0

A gente vê que a função zera nos extremos do nosso intervalo. Então pelo teorema, existe pelo menos um valor de x nesse intervalo onde f ' x = 0 . Ou seja, onde a equação:

6 x 5 - 4 x + 1 = 0

Tem solução.

Resposta

Prova nos passos

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