Enunciado

Use o Método de Newton para aproximar todas as três soluções de x 3 - 4 x + 1 = 0 .

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 3 - 4 x + 1 ' = 3 x 3 - 1 - 4 + 0 = 3 x 2 - 4

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 3 - 4 x n + 1 3 x n 2 - 4

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 2 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 3 - 4 x 1 + 1 3 x 1 2 - 4 = 2 - 2 3 - 4 ⋅ 2 + 1 3 ⋅ 2 2 - 4 = 1,875

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 3 - 4 x 2 + 1 3 x 2 2 - 4 = 1,875 - 1,875 3 - 4 ⋅ 1,875 + 1 3 ⋅ 1,875 2 - 4 ≈ 1,8609785203

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 3 - 4 x 3 + 1 3 x 3 2 - 4 =

= 1,8609785203 - 1,8609785203 3 - 4 ⋅ 1,8609785203 + 1 3 ⋅ 1,8609785203 2 - 4 ≈ 1,8608058792

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 3 - 4 x 4 + 1 3 x 4 2 - 4 =

= 1,8608058792 - 1,8608058792 3 - 4 ⋅ 1,8608058792 + 1 3 ⋅ 1,8608058792 2 - 4 ≈ 1,8608058531

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 3 - 4 x 5 + 1 3 x 5 2 - 4 =

= 1,8608058531 - 1,8608058531 3 - 4 ⋅ 1,8608058531 + 1 3 ⋅ 1,8608058531 2 - 4 ≈ 1,8608058531

Pronto, o valor não varia mais, então a primeira raiz é 1,8608058531 .

Passo 4

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 0 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 3 - 4 x 1 + 1 3 x 1 2 - 4 = 0 - 0 3 - 4 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 0 2 - 4 = 0,25

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 3 - 4 x 2 + 1 3 x 2 2 - 4 = 0,25 - 0,25 3 - 4 ⋅ 0,25 + 1 3 ⋅ 0,25 2 - 4 ≈ 0,2540983607

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 3 - 4 x 3 + 1 3 x 3 2 - 4 =

= 0,2540983607 - 0,2540983607 3 - 4 ⋅ 0,2540983607 + 1 3 ⋅ 0,2540983607 2 - 4 ≈ 0,2541016884

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 3 - 4 x 4 + 1 3 x 4 2 - 4 =

= 0,2541016884 - 0,2541016884 3 - 4 ⋅ 0,2541016884 + 1 3 ⋅ 0,2541016884 2 - 4 ≈ 0,2541016884

Pronto, o valor não varia mais, então a segunda raiz é 0,2541016884 .

Passo 5

E para a última raiz, vamos analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = - 2 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 3 - 4 x 1 + 1 3 x 1 2 - 4 = 2 - - 2 3 - 4 ⋅ - 2 + 1 3 ⋅ - 2 2 - 4 = - 2,125

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 3 - 4 x 2 + 1 3 x 2 2 - 4 = - 2,125 - - 2,125 3 - 4 ⋅ - 2,125 + 1 3 ⋅ - 2,125 2 - 4 ≈

≈ - 2,1149754501

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 3 - 4 x 3 + 1 3 x 3 2 - 4 =

= - 2,1149754501 - - 2,1149754501 3 - 4 ⋅ - 2,1149754501 + 1 3 ⋅ - 2,1149754501 2 - 4 ≈ - 2,1149075446

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 3 - 4 x 4 + 1 3 x 4 2 - 4 =

= - 2,1149075446 - - 2,1149075446 3 - 4 ⋅ - 2,1149075446 + 1 3 ⋅ - 2,1149075446 2 - 4 ≈ - 2,1149075415

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 3 - 4 x 5 + 1 3 x 5 2 - 4 =

= - 2,1149075415 - - 2,1149075415 3 - 4 ⋅ - 2,1149075415 + 1 3 ⋅ - 2,1149075415 2 - 4 ≈ - 2,1149075415

Pronto, o valor não varia mais, então a terceira raiz é - 2,1149075415 .

Resposta

As raízes são 1,8608058531 , 0,2541016884 e - 2,1149075415 .

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