Encontre dy/dx:

y = ((x - 5) / (2x + 1))^3

Passo 1

Por aqui a gente não para não !!

Como resolvemos este monstro?

A primeira coisa, dar nomes que nos ajudem a simplificar isto daqui:

f x = x - 5 3

g x = 2 x + 1 3

E lembrando da Regra do Quociente:

d y d x = g x . d f ( x ) d x - f ( x ) . d g ( x ) d x g x 2

Vamos começar chamando:

u = x - 5

v = 2 x + 1

Então:

f u = u 3

g v = v 3

Lembrando que:

d f ( x ) d x = d f ( u ) d u . d u d x

d g ( x ) d x = d g ( v ) d v . d v d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x e d v d x :

d u d x = 1

d v d x = 2

Agora vamos derivar f ( u ) e g ( v ) :

d f ( u ) d u = 3 u 2

d g ( v ) d v = 3 v 2

E por fim:

d f ( x ) d x = 3 u 2 . 1

d g ( x ) d x = 3 v 2 . 2

Substituindo u e v :

d f ( x ) d x = 3 x - 5 2

d g ( x ) d x = 6 2 x + 1 2

E agora voltamos lá na Regra do Quociente:

d y d x = 2 x + 1 3 . 3 x - 5 2 - x - 5 3 . 6 2 x + 1 2 2 x + 1 3 2

d y d x = 3 x - 5 2 2 x + 1 3 - 6 x - 5 3 2 x + 1 2 2 x + 1 6

Evidenciando alguns termos:

d y d x = 3 x - 5 2 2 x + 1 2 2 x + 1 - 2 x - 5 2 x + 1 6

d y d x = 3 x - 5 2 2 x + 1 - 2 x + 10 2 x + 1 4

d y d x = 3 3 x - 5 2 2 x + 1 4

Essa foi massa demaaais !!

Resposta

d y d x = 33 x - 5 2 2 x + 1 4

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