Encontre dy/dx:

y = ((1 + x^2) / (1 - x^2))^17

Passo 1

Por aqui a gente não para não !!

Esta questão pode parecer difícil, mas vocês verão que é molezinha !!

Primeiro vamos chamar:

f x = 1 + x 2 17

g x = 1 - x 2 17

E lembrando da Regra do Quociente:

d y d x = g x . d f ( x ) d x - f ( x ) . d g ( x ) d x g x 2

Vamos começar chamando:

u = 1 + x 2

v = 1 - x 2

Então:

f u = u 17

g v = v 17

Lembrando que:

d f ( x ) d x = d f ( u ) d u . d u d x

d g ( x ) d x = d g ( v ) d v . d v d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x e d v d x :

d u d x = 2 x

d v d x = - 2 x

Agora vamos derivar f ( u ) e g ( v ) :

d f ( u ) d u = 17 u 16

d g ( v ) d v = 17 v 16

E por fim:

d f ( x ) d x = 17 u 16 . 2 x

d g ( x ) d x = 17 v 16 . - 2 x

Substituindo u e v :

d f ( x ) d x = 34 x . 1 + x 2 16

d g ( x ) d x = - 34 x . 1 - x 2 16

E agora voltamos lá na Regra do Quociente:

d y d x = 1 - x 2 17 . 34 x . 1 + x 2 16 - 1 + x 2 17 . - 34 x . 1 - x 2 16 1 - x 2 17 2

d y d x = 34 x . 1 + x 2 16 1 - x 2 17 + 34 x . 1 + x 2 17 1 - x 2 16 1 - x 2 34

Evidenciando alguns termos:

d y d x = 34 x . 1 + x 2 16 1 - x 2 1 6 1 - x 2 + 1 + x 2 1 - x 2 34

d y d x = 68 x . 1 + x 2 16 1 - x 2 18

Essa foi massa demaaais !!

Resposta

d y d x = 68 x . 1 + x 2 16 1 - x 2 18

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