Enunciado

Sob certas circunstâncias, um boato se propaga de acordo com a equação

p t = 1 1 + a   e - k t

onde p t é a proporção da população que já ouviu o boato no instante t , e a e k são constantes positivas.

a) Encontre lim t → ∞ ⁡ p t .

b) Encontre a taxa de propagação do boato.

c) Faça o gráfico de p para o caso a = 10 e k = 0,5 , onde t é medido em horas. Use o gráfico para estimar quanto tempo será necessário para o boato atingir 80% da população.

Passo 1

E aí! como vai?

O enunciado forneceu uma função p ( t ) que exprime a disseminação de um boato em uma população.

p t = 1 1 + a   e - k t

No item (a) é é pedido para determinarmos o limite de p quando t → ∞ , isto é, qual a porcentagem da população que terá ouvido o boato depois de muito tempo.

Já no item (b) é pedido a taxa de propagação de boato, para isso basta derivar p com relação ao tempo.

E no item (c) temos que esboçar o gráfico de p para a = 10 e k = 0,5 e estimar o tempo para o boato chegar em 80 % da população.

Bastante coisa, não é?

No item a) basta aplicarmos a função p t no limite

lim t → ∞ ⁡ p t

Já no item b) temos que lembrar que a taxa de variação de uma função é expressa pela sua derivada, logo, temos que determinar a derivada de p t e para isso podemos aplicar a regra da cadeia que é dada por

f x = g h x ,     f ' x = h ' x g ' h x

E no item c) esboçamos o gráfico de p encontrando algumas características da função.

Bora lá!

Passo 2

Neste passo vamos resolver o item (a).

Calculando o limite, vemos que quando t → ∞ , e - k t → 0 pois k > 0 . Assim,

lim t → ∞ ⁡ p t = lim t → ∞ ⁡ 1 1 + a   e - k t

lim t → ∞ ⁡ p t = 1 1 + a ⋅ 0 = 1 1 + 0

lim t → ∞ ⁡ p ( t ) = 1

Assim, para tempos muito longos p se aproxima de 1 , isto é, 100% da população terá escutado o boato (o que faz sentido né?).

Show?

Passo 3

Neste passo vamos resolver o item (b).

A taxa de propagação do boato é a deriva de p com relação ao tempo.

d p d t = d 1 1 + a   e - k t d t

Podemos reescrever a função como 1 + a   e - k t - 1

d p d t = d 1 + a   e - k t - 1 d t

Aplicando a regra da cadeia, temos

d p d t = d 1 + a   e - k t d t · d h t - 1 d h

Perceba que na derivada de h x - 1 estamos derivando em função de h , ou seja, tratamos como uma variavel.

d 1 + a   e - k t d t = - k a e - k t

d h t - 1 d h = - 1 h t - 2 = - h t - 2

Substituindo em d p d t ...

d p d t = d 1 + a   e - k t d t · d h t - 1 d h

d p d t = - k a e - k t · - h t - 2

d p d t = k a e - k t h t 2

Se h t = 1 + a   e - k t , então

d p d t = k a e - k t 1 + a   e - k t 2

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora resolveremos o item (c). Com a = 10 e k = 0,5 , temos que

p t = 1 1 + 10   e - 0,5 t

O gráfico de p ( t ) fica:

Note que conforme t cresce, p se aproxima de 1 , como vimos no item (a).

Olhando no gráfico onde p t = 0,8 (o que representa 80%) obtemos t ≈ 7,4 horas.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a) lim t → ∞ ⁡ p ( t ) = 1 .

b) d p d t = a k   e - k t 1 + a   e - k t 2 .

c) Esboço de gráfico.

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