Enunciado

Encontre a altura e o raio de um cone circular reto com o menor volume que pode circunscrever uma esfera de raio R .

Passo 1

Então pessoal, a fim de facilitar nossa visualização sobre o problema, temos a seguinte situação:

Vamos chamar a altura do cone de h , o raio da esfera de R e o raio do cone de r , tudo jóia? Show! Como sabemos, o volume do cone é:

V = 1 3 π r 2 h

Se utilizarmos semelhança de triângulos, teremos o seguinte:

r h = R h 2 - 2 R h

No qual essa raíz do denominador aparece por conta do teorema de Pitágoras. Se isolarmos r , teremos:

r = R h h 2 - 2 R h

Substituindo na expressão de V :

V = 1 3 π R h h 2 - 2 R h 2 h = 1 3 π R 2 . h 3 h 2 - 2 R h

Agora deixamos a expressão de V em função apenas de h e não mais em função de r e h !

Passo 2

Como o enunciado fala de minimizar o volume, então temos que encontrar os pontos críticos da nossa função, ou seja:

d V d h = 1 3 π R 2 3 h 2 h 2 - 2 R h - h 2 . 2 h - 2 R h 2 - 2 R h 2

Simplificando, teremos:

d V d h = 1 3 π R 2 h h - 4 R h - 2 R 2

Igualando nossa derivada a zero:

1 3 π R 2 h h - 4 R h - 2 R 2 = 0

h h - 4 R = 0

As únicas formas disso dar zero são se:

h = 0

Ou:

h - 4 R = 0

h = 4 R   u . c

Como h não pode ser zero, então temos que nosso resultado é h = 4 R !

Passo 3

Agora que encontramos h , para descobrirmos r é tranquilo, pois basta utilizarmos a expressão que encontramos no passo 1, se liga:

r = R h h 2 - 2 R h

Para h = 4 R temos que r será:

r = R . 4 R 16 R 2 - 2 R . 4 R

r = 4 R 2 R 8

∴ r = 4 R 8   u . c

E está aí nossa resolução, pessoal! 😊

Resposta

h = 4 R   u . c

r = 4 R 8   u . c

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