Enunciado

Seja f x = a x 2 + b x + c , onde a > 0 . Prove que f x ≥ 0 em cada x se, e somente se, b 2 - 4 a c ≤ 0 . [Sugestão: Encontre o mínimo de f x .]

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em específico, precisamos usar as definições e usos das derivadas. Nesse caso em questão, temos que verificar o comportamento da função e ver os pontos de máximo e mínimo valor em cada eixo.

Usando a derivada, podemos verificar se a função é crescente ou decrescente em um dado intervalo. Ainda, igualando a zero, conseguimos verificar os pontos críticos em que a função tem valor mínimo ou máximo.

Seguindo a dica do exercício, iremos resolvê-lo através do resultado do valor mínimo de f x .

Passo 2

Então, para encontrar o valor mínimo de f , iremos aplicar a definição de derivada para a equação e encontrar os pontos críticos primeiro. Logo, teremos:

f ' x = 2 a x + b

Tal que, igualando a zero, iremos descobrir que o ponto crítico é:

x = - b 2 a

Passo 3

Como a função f é uma função do segundo grau, ela representa uma parábola. Então para sabermos se ela possui um ponto mínimo absoluto, iremos verificar a concavidade através do método da segunda derivada.

Então, derivando a função novamente:

f ' ' x = 2 a

Visto que a > 0 , então o valor da segunda derivada é positivo e, logo, a concavidade é para cima. Isso significa que a função possui valor mínimo.

Passo 4

Para nós verificarmos a inequação desejada f x ≥ 0 , vamos substituir o valor do ponto crítico na função e aplicar a inequação no resultado obtido. Então, para o ponto crítico em x , teremos:

f - b 2 a = a - b 2 a 2 + b - b 2 a + c

Que resulta em:

f - b 2 a = a b 2 4 a 2 - b 2 2 a + c = b 2 4 a - b 2 2 a + c

Ou ainda:

f - b 2 a = - b 2 4 a + c

Agora, para que f x ≥ 0 , os valores da função acima do ponto crítico devem ser maiores ou iguais a zero também. Então, aplicando a inequação:

f - b 2 a ≥ 0 → - b 2 4 a + c ≥ 0

Isso mostra que:

b 2 4 a ≤ c

Logo:

b 2 - 4 a c ≤ 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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