Enunciado

Se uma quantidade física desconhecida é medida n vezes, as medidas x 1 ,   x 2 , … , x n muitas vezes variam, dependendo de fatores incontroláveis, como temperatura, pressão atmosférica, etc. Assim, um cientista muitas vezes se depara com o problema de obter, a partir de n medidas observadas distintas, uma estimativa x - de uma quantidade desconhecida x . Um método de obter tal estimativa está baseado no princípio dos mínimos quadrados, que estabelece que a estimativa x - deve ser escolhida de forma a minimizar:

s = x 1 - x - 2 + x 2 - x - 2 + … + x n - x - 2

Que é a soma dos quadrados dos desvios entre a estimativa x - e os valores medidos. Mostre que a estimativa resultante do princípio dos mínimos quadrados é:

x - = 1 n x 1 + x 2 + … + x n

Isto é, x - é a média aritmética dos valores observados.

Passo 1

Então galera, de acordo com o enunciado, a expressão que estabelece a estimativa x - que deve ser escolhida de forma a minimizar a quantidade é essa:

s = x 1 - x - 2 + x 2 - x - 2 + … + x n - x - 2

Como estamos interessados em minimização, vamos utilizar os conceitos de cálculo que conhecemos! Derivando nossa função:

d s d x - = - 2 x 1 - x - - 2 x 2 - x - - … - 2 x n - x -

Igualando a zero:

- 2 x 1 - x - - 2 x 2 - x - - … - 2 x n - x - = 0

x 1 + x 2 + … + x n - n x - = 0

∴ x - = 1 n x 1 + x 2 + … + x n

Que é o que queríamos demonstrar! Show!

Passo 2

Conseguimos chegar na expressão que o enunciado queria, ok! No entanto, como fazemos para provar de que se trata de um ponto de mínimo mesmo? Fazendo o teste da derivada segunda! Derivando novamente nossa função, teremos:

d 2 s d x - 2 = 2 + 2 + … + 2 = 2 n > 0

Como a derivada segunda deu maior que zero, isso implica que a concavidade da função é para cima e, portanto, o ponto em questão é um ponto de mínimo!

Sendo assim, fica provado que, de fato, x - = 1 n x 1 + x 2 + … + x n é um ponto de mínimo da função s !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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