Enunciado

Encontre o ângulo entres os vetores. (Primeiro encontre uma expressão exata e depois aproximea para o ângulo mais próximo.)

a = 8 i - j + k

b = 4 j + 2 k

Passo 1

Bom galera, primeiro a gente vai escrever de uma forma mais legal os vetores:

a = 8 i - j + k

b = 4 j + 2 k

Que é a mesma coisa que:

a = 8 , - 1,1

b = ( 0,4 , 2 )

Passo 2

Beleza, por definição o cosseno do ângulo entre dois vetores é:

cos ⁡ θ = a × b a ⋅ b

Ou seja, é a soma dos produtos de cada uma das dimensões dos vetores dividido pelo produto da norma euclidiana desses vetores, essa norma é a mesma coisa que pitagorás, sabe?

Pois é, se a gente pegar a função inversa do cosseno a gente vai encontrar o ângulo:

θ = cos - 1 ⁡ a × b a ⋅ b

Passo 3

Agora, a gente vai calcular a soma dos produtos das dimensões dos vetores:

a × b = 8 ⋅ 0 + - 1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2

a × b = - 2

Passo 4

E para o produto dos normalizados vamos calcular as normas:

a = 8 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = 66

E:

b = 0 2 + 4 2 + 2 2 = 20

Assim o produto dos dois é:

a ⋅ b = 6 6 ⋅ 20 = 1320

Passo 5

Calma, agora é só botar naquela forma, essa aqui:

θ = cos - 1 ⁡ a × b a ⋅ b

Fica:

θ = cos - 1 ⁡ - 2 1320 = 93,156 °

Resposta

θ = cos - 1 ⁡ - 2 1320 = 93,156 °

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