Enunciado

encontre o ângulo theta , onde 0 <= theta <= 2 pi .

cos 2 theta + cos theta = 0

Passo 1

Beeem, a não ser que tenhamos uma calculadora, não temos como trabalhar com essa equação assim .rsrs. Precisamos alterar ela, mas como ? okay, ta vendo o cos 2 theta ? ele tem que se transformar em alguma coisa de apenas cos theta . Assim a resolução fica mais simples.

A gente pode utilizar a fórmula do arco metade para resolver nosso problema :

cos^2 theta = (1 + cos 2 theta)/(2)

2 * cos^2 theta = 1 + cos 2 theta

cos 2 theta = 2 cos^2 theta - 1

Assim, equação fica:

( 2 cos^2 theta - 1 ) + cos theta = 0

2 cos^2 theta + cos theta - 1 = 0

Passo 2

Olha só! Melhoramos muito nossa equação, ela ta prontinha. Se a gente fizer uma substituição

x = cos theta

Então nosso problema se resume em calularmos uma equação de segundo grau, coisas que já fizemos mil vezes. Então bora la!!!

2 cos^2 theta + cos theta - 1 = 0

2 x^2 + x - 1 = 0

x = (- 1 +- sqrt(1^2 - 4 * 2 * (- 1)))/(2 * 2)

x = (- 1 +- sqrt(9))/(4)

x = (- 1 +- 3)/(4)

Então

x = (- 1 + 3)/(4) = (1)/(2) -> cos theta = (1)/(2)

ou

x = (- 1 - 3)/(4) = - 1 -> cos theta = - 1

Passo 3

Para cos theta = (1)/(2) , o theta pode assumir dois valores, (pi)/(3) e (5 pi)/(3) :

E para cos theta = - 1 , o theta pode assumir somente um valor, pi :

Prontinho terminamos aqui. Te encontro na próxima resolução, : )

Resposta

theta = (pi)/(3) , theta = (5 pi)/(3) , theta = pi

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 39-42, expresse a quantidade em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x .42. co s ⁡ 3 π 2 + x
37. O que acontece se você tomar a identidade trigonométrica cos ⁡ A - B = cos ⁡ A cos ⁡ B + sen ⁡ A sen ⁡ B ? O resultado se parece com algo que você conhece?
43. Avalie sen ⁡ 7 π 12 como sen ⁡ π 4 + π 3
Nos exercícios 39-42, expresse a quantidade em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x .39. cos ⁡ ( π + x )
43. Avalie co s ⁡ 11 π 12 como co s ⁡ π 4 + 2 π 3