Enunciado

Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.)

f x = 2 x 2 + 5 x 2 + 1

Passo 1

Primeiro vamos manipular a função fazendo a divisão dos polinômios:

2 x 2 + 5 = 2 x 2 + 1 + 3 → 2 x 2 + 5 x 2 + 1 = 2 x 2 + 1 + 3 x 2 + 1 → 2 x 2 + 5 x 2 + 1 = 2 + 3 x 2 + 1

Assim temos que:

f x = 2 x 2 + 5 x 2 + 1 = 2 + 3 x 2 + 1

Vamos lá, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F ' x = f x

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Passo 2

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada F da função f , temos que a antiderivada da função 1 1 + x 2 e de uma constante são da forma:

arctan ⁡ x

c x

Agora é só aplicar:

F x = 2 x + 3 ⋅ arctan ⁡ x + C = 2 x + 3 arctan ⁡ x + C

Passo 3

Vamos agora checar, para isso temos que derivar F x :

F ' x = 2 x 1 - 1 + 3 ⋅ 1 1 + x 2 + 0 = 2 x 0 + 3 1 + x 2 = 2 ⋅ 1 + 3 1 + x 2 = 2 + 3 1 + x 2 = 2 x 2 + 5 x 2 + 1

Pronto, tá tudo certo!

Resposta

F x = 2 x + 3 arctan ⁡ x + C

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t)∫ x 2 + 1 xd x
1-Calcule.j)∫ x3 d x
r) ∫ ( 3 x 2 5 + 3 ) d x
o) ∫ 3 x 2 + x + 1 x 3 d x
s)∫ 2 x 3 - 1 x 4 d x