Enunciado

Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta por diferenciação.)

f x = 6 x 5 - 8 x 4 - 9 x 2

Passo 1

Vamos lá, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F ' x = f x

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

No nosso caso, queremos encontrar a antiderivada mais geral da seguinte função:

f x = 6 x 5 - 8 x 4 - 9 x 2

Vamos lá!! 😉

Passo 2

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada F da função f , temos que as antiderivadas das funções gerais x n com n ≠ 1 e de c f x são, respectivamente, nas formas:

x n + 1 n + 1

c F x

Agora é só aplicar:

F x = 6 ⋅ x 5 + 1 5 + 1 - 8 ⋅ x 4 + 1 4 + 1 - 9 ⋅ x 2 + 1 2 + 1 + C ∴

F x = 6 x 6 6 - 8 x 5 5 - 9 x 3 3 + C ∴

F x = x 6 - 8 x 5 5 - 9 x 3 3 + C

Passo 3

Vamos agora checar, para isso temos que derivar F x :

F ' x = 6 ⋅ x 6 - 1 - 8 ⋅ 5 ⋅ x 5 - 1 5 - 9 ⋅ 3 ⋅ x 3 - 1 3 + 0 ∴

F ' x = 6 x 5 - 8 x 4 - 9 x 2

Pronto, tá tudo certo! 😉

Resposta

F x = x 6 - 8 x 5 5 - 9 x 3 3 + C

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