Enunciado

Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)

f x = x 2 + x + 1 x

Passo 1

Queremos achar as funções F ( x ) tais que F ' x = f ( x ) . Podemos desenvolver a função dada separando as potências de x :

f x = x + 1 + 1 x

Sabemos que para potências de x encontramos a antiderivada da seguinte maneira:

f x = x n ⇒ F x = x n + 1 n + 1 + C

E que esse resultado não funciona para n = - 1 , pois nesse caso temos 1 / x , que possui antiderivada ln ⁡ | x | + C , já que ln ⁡ x ' = 1 / x .

Passo 2

Então, aplicando o método de antiderivação, temos:

f x = x + 1 + 1 x

⇒ F x = x 2 2 + x 1 + ln ⁡ | x | + C

Derivando, chegaremos novamente a f x :

Para x > 0   ( ln ⁡ x = ln ⁡ x ) :

F ' x = 1 2 2 x + 1 + 1 x = x + 1 + 1 x = x 2 + x + 1 x = f ( x )

Para x < 0   ( ln ⁡ x = ln ⁡ ( - x ) ) :

F ' x = 1 2 2 x + 1 + 1 - x - 1 = x + 1 + 1 x = x 2 + x + 1 x = f ( x )

Resposta

F x = x 2 2 + x 1 + ln ⁡ | x | + C

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