Enunciado

Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)

f x = 2 x + 5 1 - x 2 - 1 / 2

Passo 1

Queremos achar as funções F ( x ) tais que F ' x = f ( x ) . Sabemos que a antiderivada de 2 x é x 2 + C , falta achar para 5 1 - x 2 - 1 / 2 = 5 1 - x 2 . Aqui temos que lembrar da derivada do arcosseno (função inversa do seno):

arcsen ⁡ x ' = 1 1 - x 2

Então, chegamos à conclusão de que a derivada de 1 / 1 - x 2 é arcsen ⁡ x + C . Temos então:

f x = 2 x + 5 1 - x 2 - 1 / 2

F x = x 2 + 5 arcsen ⁡ x + C

Passo 2

Derivando, chegamos de novo a f ( x ) :

F ' x = 2 x + 5 1 x 2 - 1 = 2 x + 5 1 - x 2 - 1 / 2

Resposta

F x = x 2 + 5 arcsen ⁡ x + C

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