Enunciado

Encontre a área entre o laço maior e o laço menor da curva

r = 1 + 2 cos ⁡ 3 θ

Passo 1

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Antes de mais nada, vamos desenhar essa curva aí pra gente visualizar a área que teremos que calcular.

Com a ajuda no nosso bom e velho Winplot:

Queremos essa área pontilhada aí.

Mas, se você reparar, nossa figura é simétrica, então dá pra dividir essa área em dois e calcular só metade dela e depois multiplicar por dois, certo?

Passo 2

Ok, agora vamos pensar o intervalo de integração.

Quando θ = 0 , temos

r = 1 + 2 cos ⁡ 0 = 3

Estamos nesse ponto azul

Agora, quando r = 0 , temos

r = 1 + 2 cos ⁡ 3 θ = 0

cos ⁡ 3 θ = - 1 2

3 θ = 2 π 3     o u   4 π 3

θ = 2 π 9

Ou

θ = 4 π 9

Estamos no ponto verde:

Assim, podemos integrar nossa curva de θ = 0 até θ = 2 π 9 .

Só que com isso, a gente pega também esse loopingzinho de dentro, que é o tal do laço menor, que a gente NÃO quer na nossa área.

Então nesse caso, a gente vai precisar TIRAR a área desse laço interno aí.

Passo 3

Pra tirar a área do laço interno, vamos pensar:

Qual o valor de θ pra quando r vale zero e quando r está na pontinha do laço menor, ou seja, quando r vale - 1 (porque o r já atingiu zero, então agora conforme θ aumenta, r vai diminuindo, ok?)?

Para r = 0 , temos que

cos ⁡ 3 θ = - 1 2

3 θ = 2 π 3     o u   4 π 3

θ = 2 π 9

Show!

E para r = - 1 , temos que

r = 1 + 2 cos ⁡ 3 θ = - 1

cos ⁡ 3 θ = - 1

3 θ = π

θ = π 3

Passo 4

Dessa forma, vamos calcular a área da metade de cima do laço maior de θ = 0 até θ = 2 π 9 e subtrair a área do laço de dentro de θ = 2 π 9 até θ = π 3 .

Vamos fazer isso daqui oh:

Mas isso vai ser só METADE da nossa área de interesse, que é essa aqui:

Então no final a gente vai multiplicar isso por 2.

Show de bola?

Passo 5

Vamos a integral.

A = ∫ 0 2 π / 9 1 2 1 + 2 cos ⁡ 3 θ 2 d θ - ∫ 2 π / 9 π / 3 1 2 1 + 2 cos ⁡ 3 θ 2 d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π / 9 1 + 4 cos ⁡ 3 θ + 4 cos 2 ⁡ 3 θ d θ - 1 2 ∫ 2 π / 9 π / 3   1 + 4 cos ⁡ 3 θ + 4 cos 2 ⁡ 3 θ d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π / 9 1 + 4 cos ⁡ 3 θ + 4 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2.3 θ ) d θ - 1 2 ∫ 2 π / 9 π / 3 1 + 4 cos ⁡ 3 θ + 4 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2.3 θ ) d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π / 9 1 + 4 cos ⁡ 3 θ + 2 ( 1 + cos ⁡ 6 θ ) d θ - 1 2 ∫ 2 π / 9 π / 3 1 + 4 cos ⁡ 3 θ + 2 ( 1 + cos ⁡ 6 θ ) d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π / 9 3 + 4 cos ⁡ 3 θ + 2 cos ⁡ 6 θ d θ - 1 2 ∫ 2 π / 9 π / 3 3 + 4 cos ⁡ 3 θ + 2 cos ⁡ 6 θ d θ

A = 1 2 3 θ + 4 3 sen ⁡ 3 θ + 2 6 sen ⁡ 6 θ 2 π 9 0 - 1 2 3 θ + 4 3 sen ⁡ 3 θ + 2 6 sen ⁡ 6 θ π 3 2 π 9

A = 1 2 2 π 3 + 4 3 3 2 + 1 3 - 3 2 - 0 - 1 2 π + 0 + 0 - 2 π 3 + 4 3 3 2 + 1 3 - 3 2

A = 1 2 2 π 3 + 2 3 3 - 3 6 - 1 2 π - 2 π 3 + 2 3 3 - 3 6

A = 1 2 2 π 3 + 3 2 - π - 2 π 3 + 3 2

A = 1 2 π 3 + 3

Assim, a área total é

A t = 2 × A = π 3 + 3

Resposta

A t = π 3 + 3

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