Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 34
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas
Passo 1
Vamos plotar as curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.
Portanto, queremos a área dessa região sombreada.
A área de uma curva em coordenadas polares é dada por
Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.
Passo 2
O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.
Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas, já que queremos a área dentro de ambas as curvas.
Para isso, basta igualarmos as duas curvas:
Eu sei que parece estranho, mas é a mesma coisa que estávamos fazendo até agora. Acontece que nessa questão o nosso não tem um valor especfico, não é um ângulo “palpável” digamos assim, é uma parada que tá em função de dois parâmetros.
Mas a ideia é exatamente a mesma! Pense no como um ângulo qualquer!
Agora vamos pensar. Se a gente imaginar uma reta bem no ponto de interseção entre as duas curvas, é como se nossa região sombreada fosse a curva de até e depois passasse a ser a curva , de até .
Vê se você consegue visualizar isso:
Então, teremos dois intervalos de integração:
E
DICA: Essa questão é igual a questão , só que lá a gente tinha .
Passo 3
Continuando, falta a gente descobrir quem é o .
O é a própria parametrização.
Assim, como temos duas curvas, vamos ter dois (e também duas integrais, afinal, até definimos dois intervalos de integração ali no passo 2).
Então agora é só substituir e integrar esse negocio.
Passo 4
Vamos lá:
Pra não ficar carregando essa coisa gigante o tempo todo na nossa integral, vou escrever , tá bem?
Como
Assim