Enunciado

Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas

r = a s en ⁡ θ

r = b cos ⁡ θ

a > 0   ,   b > 0

Passo 1

Vamos plotar as curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.

Portanto, queremos a área dessa região sombreada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas, já que queremos a área dentro de ambas as curvas.

Para isso, basta igualarmos as duas curvas:

r = a sen ⁡ θ = b cos ⁡ θ

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = tan ⁡ θ = b a

θ = arctan ⁡ b a

Eu sei que parece estranho, mas é a mesma coisa que estávamos fazendo até agora. Acontece que nessa questão o nosso θ não tem um valor especfico, não é um ângulo “palpável” digamos assim, é uma parada que tá em função de dois parâmetros.

Mas a ideia é exatamente a mesma! Pense no θ como um ângulo qualquer!

Agora vamos pensar. Se a gente imaginar uma reta θ = arctan ⁡ b a bem no ponto de interseção entre as duas curvas, é como se nossa região sombreada fosse a curva r = a sen ⁡ θ de θ = 0 até θ = arctan ⁡ b a e depois passasse a ser a curva r = b cos ⁡ θ , de θ = arctan ⁡ b a até θ = π 2 .

Vê se você consegue visualizar isso:

Então, teremos dois intervalos de integração:

a = 0

b = arctan ⁡ b a

E

c = arctan ⁡ b a

d = π 2

DICA: Essa questão é igual a questão 29 , só que lá a gente tinha θ = π 3 .

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização.

Assim, como temos duas curvas, vamos ter dois r ' s (e também duas integrais, afinal, até definimos dois intervalos de integração ali no passo 2).

r = a sen ⁡ θ

r = b cos ⁡ θ

Então agora é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A = 1 2 ∫ 0 arctan ⁡ b a a sen ⁡ θ 2 d θ + 1 2 ∫ arctan ⁡ b a π 2 b cos ⁡ θ 2 d θ

Pra não ficar carregando essa coisa gigante arctan ⁡ b a o tempo todo na nossa integral, vou escrever c , tá bem?

A = 1 2 ∫ 0 c a sen ⁡ θ 2 d θ + 1 2 ∫ c π 2 b cos ⁡ θ 2 d θ

A = 1 2 ∫ 0 c a 2 sen 2 ⁡ θ d θ + 1 2 ∫ c π 2 b 2 cos 2 ⁡ θ d θ

A = a 2 2 ∫ 0 c 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) d θ + b 2 2 ∫ c π 2 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ

A = a 2 4 ∫ 0 c ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) d θ + b 2 4 ∫ c π 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ

A = a 2 4 θ - 1 2 sen ⁡ 2 θ c 0 + b 2 4 θ + 1 2 sen ⁡ 2 θ π 2 c

A = a 2 4 c - 1 2 sen ⁡ 2 c + b 2 4 π 2 + 1 2 sen ⁡ π - c + 1 2 sen ⁡ 2 c

A = a 2 4 c - 1 2 sen ⁡ 2 c + b 2 4 π 2 - c + 1 2 sen ⁡ 2 c

A = a 2 4 c - 2 2 sen ⁡ c cos ⁡ c + b 2 4 π 2 - c + 2 2 sen ⁡ c cos ⁡ c

A = a 2 4 c - sen ⁡ c cos ⁡ c + b 2 4 π 2 - c + sen ⁡ c cos ⁡ c

Como

c = arctan ⁡ b a

tan ⁡ c = b a = sen ⁡ c cos ⁡ c

Assim

A = a 2 4 c - b a + b 2 4 π 2 - c + b a

A = b 2 π 8 + a 2 4 c - b a - b 2 4 c + b a

A = b 2 π 8 + 1 4 a 2 - b 2 c - 1 4 a 2 + b 2 b a

A = b 2 π 8 + 1 4 a 2 - b 2 arctan ⁡ b a - 1 4 a 2 + b 2 b a

Resposta

A = b 2 π 8 + 1 4 a 2 - b 2 arctan ⁡ b a - 1 4 a 2 + b 2 b a

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