Enunciado

Encontre a área da região que é delimitada pelas curvas dadas e está no setor especificado.

r 2 = 9   s e n   2 θ ,   r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 1

Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornce extamente a área da curva. Mas a curva deste problema é dada em coordenadas polares.

Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Passo 2

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ π 2 e substituindo r 2 = 9   s e n   2 θ , obtemos:

A = ∫ 0 π / 2 1 2 ∙ 9   s e n   2 θ   d θ = 9 2 ∫ 0 π 2 s e n   2 θ   d θ = 9 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ 0 π 2 = - 9 4   cos ⁡ π - cos ⁡ 0  

A = - 9 4   - 1 - 1 = 9 2

Resposta

A = 9 2

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