21. Encontre a área sob um arco da ciclóide:

x = a(t - sen t), y = a(1 - cos t)

Passo 1

E aí, galerinha! Estamos entrando nos exercícios de cálculo de área. Ficaram com dúvida nessa questão? Então, vem comigo!

Como a questão pede a área sob um arco de ciclóide, temos que usar

A = ∫ 0 2 π y d x

Aqui, nós usamos o intervalo só de 0 a 2 π porque queremos a área só sob um arco da ciclóide e esse arco é desenhado nesse intervalo.

Passo 2

Usando x = a ( t - s e n   t ) , nós obtemos

d x = d [ a ( t - s e n   t ) ] = a   d t - a c o s t   d t = a ( 1 - c o s t )   d t

Agora a gente substitui isso e y = a ( 1 - c o s t ) na fórmula da área

A = ∫ 0 2 π y d x = ∫ 0 2 π a 2 ( 1 - c o s t ) 2   d t

A = ∫ 0 2 π a 2 ( 1 - 2 c o s t + c o s 2 t )   d t

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente

∫ 0 2 π a 2   d t = 2 π a 2

∫ 0 2 π a 2 ( - 2 c o s t )   d t = - a 2   s e n   t | 0 2 π = - a 2 ( 0 - 0 ) = 0

∫ 0 2 π a 2 c o s 2 t   d t = a 2 ∫ 0 2 π 1 + c o s   2 t 2   d t = a 2 t 2 + s e n   2 t 4 0 2 π

⇒ ∫ 0 2 π a 2 c o s 2 t   d t = a 2 2 π 2 - 0 + s e n   4 π 4 - s e n   0 4 = a 2 π

Assim, a área sob o arco da ciclóide é

A = ∫ 0 2 π a 2 ( 1 - 2 c o s t + c o s 2 t )   d t = 2 a 2 π + a 2 π = 3 a 2 π

Até a próxima!

Resposta

3 a 2 π

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