Enunciado

Encontre a área da região que é delimitada pelas curvas dadas e está no setor especificado.

r = tg ⁡ θ , π 6 ≤   θ ≤ π 3

Passo 1

Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornce extamente a área da curva. Mas a curva deste problema é dada em coordenadas polares.

Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Passo 2

Aplicando os limites de integração   π 6 ≤   θ ≤ π 3 e substituindo r = tg ⁡ θ , obtemos:

A = ∫ π / 6 π / 3 1 2 tg ² ⁡ θ   d θ = 1 2 ∫ π / 6 π / 3 tg ² ⁡ θ   d θ

Podemos usar a propriedade trigonométrica: sec ²  θ = tg ⁡ ² θ + 1

A = 1 2 ∫ π / 6 π / 3 ( s e c 2 θ - 1   ) d θ = 1 2 ( tg ⁡ θ - θ ) π / 6 π / 3 = 1 2 tg ⁡ π 3 - π 3 - tg ⁡ π 6   - π 6

Lembrando que π 3 = 60 ° e π 6 = 30 ° .

A = 1 2 3 - π 3 - 3 3 - π 6 = 3 3 - π 12

Resposta

A = 3 3 - π 12

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