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Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas

y = sin 2 ⁡ ( x ) ,     y = cos 2 ⁡ ( x ) ,     - π / 4 ≤ x ≤ π / 4

Passo 1

Pra facilitar a visualização, podemos esboçar um gráfico das duas funções ( cos 2 ⁡ x → v e r d e   ,   s e n 2 x → c i n z a )

Então, podemos ver que a área delimitada pelas curvas pode ser escrita como uma função g tal que

g x = cos 2 ⁡ ( x ) - sin 2 ⁡ x ,     - π 4 ≤ x ≤ π 4

Passo 2

Agora, podemos encontrar a área da região delimitada pela função g (pelas duas curvas) tomando a integral no intervalo dado

A r e a = ∫ - π 4 π 4 cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x d x

Para resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ ( x ) - sin 2 ⁡ ( x )

Então, podemos substituir

∫ - π 4 π 4 cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x d x = ∫ - π 4 π 4 cos ⁡ 2 x d x

Agora, resolvendo pelo método da substituição

Seja u = 2 x , temos que d u / 2 = d x . Vamos calcular também os novos limites de intergração

u i n f e r i o r = 2 - π 4 = - π 2

u s u p e r i o r = 2 π 4 = π 2

∫ - π 4 π 4 cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ u d u = sin ⁡ u - π 2 π 2 = 1 2 sin ⁡ π 2 - sin ⁡ - π 2 = 1 2 1 - - 1 = 1 2 2 = 1

Resposta

Á r e a = 1

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