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Encontre a área da região delimitada pela hipérbole 9 x 2 - 4 y 2 = 36 e a reta x = 3

Passo 1

Vamos fazer um esboço dos dois gráficos para entender melhor o que está acontecendo

Primeiro de tudo, vamos deixar a equação da spline como y uma função de x da seguinte forma

y = ± 3 2 x 2 - 4

Agora que já deixamos y em função de x , podemos calcular a área da seguinte maneira

Á r e a = A = 2 ∫ 2 3 3 2 x 2 - 4   d x = 3 ∫ 2 3 x 2 - 4   d x

Passo 2

Vamos resolver esta integral pela substituição trigonométrica, pra isso, vamos dizer o seguinte. Seja

x = 2 sec ⁡ t

Diferenciando, temos que

d x = 2 sec ⁡ t tan ⁡ t d t

Calculando os novos limites de integração

t i n f e r i o r : 2 = 2 sec ⁡ t ∴ t = 0

t s u p e r i o r : 3 = 2 sec ⁡ t ∴ t = sec - 1 ⁡ 3 2 = b

Substituindo na integral, ficamos com

3 ∫ 2 3 x 2 - 4   d x = 3 ∫ 0 b 4 sec 2 ⁡ t - 4   d t = 3 ∫ 0 b 4 sec 2 ⁡ t - 1   d t

Passo 3

Pra resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ

3 ∫ 0 b 4 sec 2 ⁡ t - 1 2 sec ⁡ t tan ⁡ t d t = 3 ∫ 0 b 4 tan 2 ⁡ t 2 sec ⁡ t tan ⁡ t   d t = 3 ∫ 0 b 4 tan 2 ⁡ t sec ⁡ t d t = 12 ∫ 0 b sec 2 ⁡ t - 1 sec ⁡ t d t = 12 ∫ 0 b sec 3 ⁡ t - sec ⁡ t d t = 12 1 2 sec ⁡ t tan ⁡ t + ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t - ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t 0 b = 6 sec ⁡ t tan ⁡ t - ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t 0 b = 6 3 5 4 - ln ⁡ 3 2 + 5 2 = 9 5 2 - 6 ln ⁡ 3 + 5 2

Note que as integrais são tabeladas, por isso a resolução não foi abordada.

Resposta

A r e a = 9 5 2 - 6 ln ⁡ 3 + 5 2

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