Enunciado

Encontre a área da região delimitada pela hipérbole 9 x 2 - 4 y 2 = 36 e a reta x = 3

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui queremos encontrar a área delimitada pelos gráficos.

Opa! A questão nos pede a área da região delimitada pela hipérbole 9 x 2 - 4 y 2 = 36 e a reta x = 3 . Bora lá?!

Para isso iremos calcular a área utilizando uma integral.

Passo 2

Esse tipo de questão depende um pouco da visualização do gráfico, pra isso vamos entender um pouco melhor da hipérbole. Sua forma geral é assim:

x 2 a 2 ± y 2 b 2 = 1

Podemos manipular a nossa equação pra descobrirmos a e b :

9 x 2 - 4 y 2 36 = 1

x 2 1 9 ∙ 36 - y 2 1 4 ∙ 36   = 1

x 2 4 - y 2 9   = 1

Temos então uma hipérbole horizontal com a = 2 e b = 3 . Um gráfico geral pra esse tipo de hipérbole tem essa carinha aqui:

Repara que a é a distancia entre o ( 0,0 ) até o vértice da hipérbole. Como queremos a área da região delimitada pela hipérbole e a reta x = 3 , então podemos ignorar o lado esquerdo do gráfico.

Podemos fazer um esboço beeem simples, sem tabelinha nem nada:

Agora vamos pensar em um plano de ação! Conseguimos perceber duas coisas:

  1. Os limites de integração serão 2 e 3 ;
  2. A hipérbole é simétrica em relação ao eixo x , então podemos calcular a área acima do eixo x , por exemplo, e multiplica-la por 2 .

Passo 3

Vamos isolar o y na equação da hipérbole:

9 x 2 - 4 y 2 = 36

y = ± 3 2 x 2 - 4

Podemos escrever então:

A = 2 ∫ 2 3 3 2 x 2 - 4

Jogamos a constante pra fora:

A = 3 ∫ 2 3 x 2 - 4

Passo 4

Vamos resolver esta integral pela substituição trigonométrica, pra isso, vamos dizer o seguinte. Seja:

x = 2 sec ⁡ t

d x = 2 sec ⁡ t tan ⁡ t d t

Calculando os novos limites de integração :

t i n f e r i o r : 2 = 2 sec ⁡ t ∴ t = 0

t s u p e r i o r : 3 = 2 sec ⁡ t ∴ t = sec - 1 ⁡ 3 2 = b

Substituindo na integral, ficamos com:

3 ∫ 2 3 x 2 - 4   d x

= 3 ∫ 0 b 4 sec 2 ⁡ t - 4   d t

= 3 ∫ 0 b 4 sec 2 ⁡ t - 1   d t

Passo 5

Pra resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ :

3 ∫ 0 b 4 sec 2 ⁡ t - 1 2 sec ⁡ t tan ⁡ t d t

= 3 ∫ 0 b 4 tan 2 ⁡ t 2 sec ⁡ t tan ⁡ t   d t

= 3 ∫ 0 b 4 tan 2 ⁡ t sec ⁡ t d t

= 12 ∫ 0 b sec 2 ⁡ t - 1 sec ⁡ t d t

= 12 ∫ 0 b sec 3 ⁡ t - sec ⁡ t d t

Passo 6

Para a integral ∫ sec 3 ⁡ t d t , temos uma integração por partes:

Diremos que

u = sec ⁡ t

d v = sec 2 ⁡ t d t

d u = sec ⁡ t tan ⁡ t d t

v = tan ⁡ t

∫ sec 3 ⁡ t d t = sec ⁡ t tan ⁡ t - ∫ tan ⁡ t sec ⁡ t tan ⁡ t d t

= sec ⁡ t tan ⁡ t - ∫ tan 2 ⁡ t sec ⁡ t d t

= sec ⁡ t tan ⁡ t - ∫ sec 2 ⁡ t - 1 sec ⁡ t d t

= sec ⁡ t tan ⁡ t - ∫ sec 3 ⁡ t - sec ⁡ t d t

= sec ⁡ t tan ⁡ t - ∫ sec 3 ⁡ t + ∫ sec ⁡ t d t

Passando o termo ∫ sec 3 ⁡ t para o lado esquerdo da igualdade:

2 ∫ sec 3 ⁡ t d t = sec ⁡ t tan ⁡ t + ∫ sec ⁡ t d t

∫ sec 3 ⁡ t d t = 1 2 sec ⁡ t tan ⁡ t + 1 2 ∫ sec ⁡ t d t

É tabelado que:

∫ sec ⁡ t d t = ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t + C

Agora podemos voltar para a nossa integral original:

= 12 1 2 sec ⁡ t tan ⁡ t + ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t - ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t 0 b

= 6 sec ⁡ t tan ⁡ t - ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t 0 b

= 6 3 5 4 - ln ⁡ 3 2 + 5 2

= 9 5 2 - 6 ln ⁡ 3 + 5 2

Resposta

A r e a = 9 5 2 - 6 ln ⁡ 3 + 5 2

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