Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

1. y = 4 - x 2 ; eixo x

Passo 1

Vamos olhar as curvas e colocar num gráfico a região delimitada por elas com o elemento retangular. Depois escrevemos o limite por soma de Riemann e por fim, calculamos esse limite.

Passo 2

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o ∆ x representa uma partição do intervalo [0,2] no eixo x , vamos considerar só de 0 a 2 porque o gráfico é simétrico, vamos usar essa informação mais pra frente ;)

Passo 3

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1   n f ( w i ) ∆ i x = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i x , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i x . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A = 2 lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 4 - w i 2 ) ∆ i x

Reparou aqui que colocamos 2 multiplicando? Porque o gráfico é simétrico, o que acontece de 0 até 2 no eixo x pode ser espelhado pro lado negativo do eixo.

Passo 4

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de f x d x , assim ó:

2 lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 4 - w i 2 ) ∆ i x = 2 ∫ 0 2 4 - x 2 d x

Resolvendo...

2 ∫ 0 2 4 - x 2 d x

2 4 x - x 3 3 0 2 = 2 . 16 3 = 32 3

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D

Resposta

a)

b) A = 2 lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 4 - w i 2 ) ∆ i x

c) A = 32 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície obtida quando a curva y = 25 - x 9≤x≤16 gira em torno do eixo x .
(a) Apresente uma soma de integrais definidas que represente a área total entre as curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) na figura abaixo.(b) Encontre a área total delimitada por y = x 3 e y = x no interva
Seja C a curva 27 x - y 3 = 0 entre y =0 e y=2 . Em cada parte, monte, mas não calcule, uma integral ou somas de integrais que resolvam o problema.(a) Encontre a área da superfície gerada quando C gir
A figura abaixo mostra as curvas velocidade versus tempo para dois carros movendo-se ao longo de uma pista reta, começando no mesmo ponto e acelerando a partir do repouso.(a) Qual é a distância entre
Use um recurso gráfico computacional, quando necessário, para encontrar a área da região englobada pelas curvas. y = x e x 2 , y = 2 | x |