Enunciado

Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas

r = s en ⁡ 2 θ

r = cos ⁡ 2 θ

Passo 1

Vamos plotar as curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.

Portanto, queremos a área dessa região sombreada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas, já que queremos a área dentro de ambas as curvas.

Para isso, basta igualarmos as duas curvas:

r = sen ⁡ 2 θ = cos ⁡ 2 θ

sen ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ = tan ⁡ 2 θ = 1

2 θ = π 4

θ = π 8

Então vamos pensar. Eu sei que a região sombreada está em todos os quadrantes, mas por hora, vamos focar só no primeiro quadrante.

Se a gente imaginar uma reta θ = π 8 bem no ponto de interseção entre as duas curvas, é como se nossa região sombreada fosse a curva r = sen ⁡ 2 θ de θ = 0 até θ = π 8 e depois, a partir de θ = π 8 passasse a ser a curva r = cos ⁡ 2 θ , até algum outro valor de θ e depois voltasse a ser a curva r = sen ⁡ 2 θ ... e fosse repetindo esse padrão.

Vê se você consegue visualizar isso:

Acontece que, se aproveitando de que existe um padrão e uma simetria, a gente pode dividir essa região em 8 áreas e cada uma dessas 8 áreas, a gente divide em 2 , bem no meio, como ali no primeiro quadrante, que essa divisão fica exatamente na reta θ = π 8 , que é a interseção das curvas.

Então ficamos combinados de calcular a área só de θ = 0 até θ = π 8 e depois a gente multiplica isso por 8 × 2 , ok?

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização.

Mas agora a gente precisa ficar esperto. Como dividimos nossa curva em 8 × 2 partes e só vamos calcular a integral de θ = 0 até θ = π 8 , temos que nos atentar, como a gente tinha conversado ali em cima, que nesse intervalo a nossa região de interesse é definida apenas pela curva cinza, que é a curva

r = sen ⁡ 2 θ

Assim, esse é o nosso r .

Então agora é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 8 sen ⁡ 2 θ 2 d θ

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 8 s en 2 ⁡ 2 θ d θ

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 8 1 2 1 - cos ⁡ 2.2 θ d θ

A 1 = 1 4 ∫ 0 π 8 1 - cos ⁡ 4 θ d θ

A 1 = 1 4 θ - 1 4 sen ⁡ 4 θ π 8 0

A 1 = 1 4 π 8 - 1 4 sen ⁡ π 2 - 0 - 1 4 sen ⁡ 0

A 1 = 1 4 π 8 - 1 4

A 1 = 1 4 π 8 - 1 4

Assim, a área total da nossa região é

A T = 8 × 2 × A 1 = 1 6 4 π 8 - 1 4

A T = π 2 - 1

Resposta

A = π 2 - 1

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