Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ x n 2 n - 1  

Passo 1

Através do enunciado, vemos que

a n = x n 2 n - 1

No Teste da Razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 2 ( n + 1 ) - 1 2 n - 1 x n

Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada, obtemos

lim n → ∞ ⁡ x n x 2 n + 2 - 1 2 n - 1 x n = lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 2 n + 1 x

Colocando n em evidência, obtemos

lim n → ∞ ⁡ 2 - 1 / n 2 + 1 / n x = | x |

Logo, para ser convergente

L = | x | < 1

Portanto, o raio de convergência R = 1 .

Passo 2

Agora devemos avaliar o intervalo de convergência.

Sabemos que o intervalo é ( - 1 ,   1 ) , porém devemos testar a convergência nas extreminades para definir onde é aberto e onde é fechado.

Para x = - 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n 2 n - 1

Através do Teste da Série Alternada, vemos que esta série converge.

Solução:

b n = 1 2 n - 1

i b n + 1 ≤ b n

i i   lim n → ∞ ⁡ 1 2 n - 1 = 0

Para x = 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ ( 1 ) n 2 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1

Esta série diverge. Podemos ver através do Teste da Comparação com a série harmônica e divergente

∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n

Onde

1 2 n - 1 > 1 2 n

Portanto o intervalo de convergência é

[ - 1,1 )

Resposta

R = 1

[ - 1,1 )

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