Enunciado

Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas

r = 1 + cos ⁡ θ

r = 1 - cos ⁡ θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações polares:

r = 1 + cos ⁡ θ

r = 1 - cos ⁡ θ

Queremos calcular a área da região intersectada pelas duas curvas.

Vamos plotar as curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando (a gente pegar os limites de integração dessa figura.. a gente vai encontrar eles no braço haha):

Portanto, queremos a área dessa região pontilhada.

Para calcular isso, sabemos que a área de uma curva em coordenadas polares é dada por:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Já para determinar os limites de integração, a gente vai ter que calcular os pontos de interseções entre as curvas, certinho?? Agora bora lá! 😉

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas, já que queremos a área dentro de ambas as curvas.

Para isso, basta igualarmos as duas curvas:

1 + cos ⁡ θ = 1 - cos ⁡ θ ∴

2 cos ⁡ θ = 0 ∴

θ = π 2

Ou

θ = 3 π 2

Assim, esses são os dois valores de θ no qual as curvas se intersectam, logo, vai ser o intervalo no qual nossa região de interesse está definida:

π 2 ≤ θ ≤ 3 π 2

Então, o intervalo de integração é

a = π 2

b = 3 π 2

Maaaas, se você reparar, nossa região pontilhada é simétrica!

Logo, podemos dividir ela em quatro e calcular a área de 0 até θ = π 2 e depois multiplicar por quatro pra ter a área total, o que acham?

Isso vai facilitar nossa vida na hora de fazer a integral!!

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização.

Mas agora a gente precisa ficar esperto.

Como dividimos nossa curva em 4 partes e só vamos calcular a integral de θ = 0 até θ = π 2 , temos que nos atentar que nesse intervalo a nossa região de interesse é definida apenas pela curva azul!

E eu não tinha dito pra você ainda, mas a curva azul é a curva:

r = 1 - cos ⁡ θ

Assim, esse é o nosso r .

Então agora é só substituir e integrar esse negócio.

Passo 4

Vamos lá:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ θ 2 d θ

Abrindo a expressão, temos:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 2 1 - 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

Tem uma relação trigonométrica que diz que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 . Assim, substituindo, temos:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 2 1 - 2 cos ⁡ θ + 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ

Aplicando a integral:

A 1 = 1 2 θ - 2 sen ⁡ θ + 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ π 2 0 ∴

A 1 = 1 2 3 2 θ - 2 sen ⁡ θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ π 2 0

Aplicando os limites de integração:

A 1 = 1 2 3 π 4 - 2 sen ⁡ π 2 + 1 4 sen ⁡ π - 0 - 2 sen ⁡ 0 + 1 4 sen ⁡ 0 ∴

A 1 = 1 2 3 π 4 - 2 ∴

A 1 = 3 π 8 - 1

Assim, a área total da nossa região é:

A T = 4 ∙ A 1 ∴

A T = 3 π 2 - 4

Resposta

A = 3 π 2 - 4

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Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas. r = s e n2 θ ,r = s e nθ
Encontre a área da região que é limitada pelas curvas dadas que está no setor especificado. r = θ ,0 ≤ θ ≤ π 4
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela.r^2 = s e n 2 theta
Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r 2 = 8 cos ⁡ 2 θ ,r = 2
Encontre a área da região sombreada.