Enunciado

Encontre a área da região dentro de um laço da curva:

r = 2   s e n 5 θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar que descreve uma curva:

r = 2   s e n 5 θ

Queremos calcular a área da região dentro de um dos laços dessa curva.

Mas como assim dentro de um dos laços??

A curva tem formato de uma flor com 5 pétalas. E queremos encontrar a área de uma das “pétalas”, conforme mostra a figura abaixo:

Essa figura foi colocada só para a gente enxergar melhor o que queremos calcular.

Como queremos encontrar uma área A de uma curva que é dada em coordenadas polares, temos que:

A = 1 2 ∫ a b r 2 d θ

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os limites de integração!!

A curva passa pela origem quando seu raio é 0 , dessa forma podemos fazer:

2 s e n 5 θ = 0 ∴

5 θ = sen - 1 ⁡ 0 ∴

5 θ = π n   ∴

θ = π 5 n  

Dessa forma, nossos limites de integração são 0   e π 5 .

Passo 3

Para calcular a área abaixo de uma curva, lembramos que:

A = 1 2 ∫ a b r 2 d θ ∴

A = 1 2 ∫ 0 π 5 4 s e n 2 5 θ d θ ∴

A = 2 ∫ 0 π 5 ( s e n 2 5 θ ) d θ

Passo 4

Lembrando que

sen 2 ⁡ θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

Temos:

A = 2 ∫ 0 π 5 1 2 1 - cos ⁡ 10 θ d θ ∴

A = ∫ 0 π 5 d θ - ∫ 0 π 5 ( cos ⁡ 10 θ ) d θ

A primeira integral é dada por:

∫ 0 π 5 d θ = π 5 - 0 = π 5

Já na segunda integral, podemos fazer por substituição simples. Seja

u = 10 θ

d u = 10 d θ

Assim podemos reescrever a integral como:

∫ c o s u d u 10 = 1 5 s e n u

Voltando para a variável original temos:

1 5 s e n 10 π 5 - s e n 0   = 0

Assim, a área procurada é a subtração dessas 2 integrais, ou seja:

A = 1 5 π

Resposta

A área abaixo da curva é 1 5 π .

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