Enunciado

Trace a curva e calcule a área delimitada por ela.

r = 1 + c o s 2 ( 5 θ )

Passo 1

O gráfico de r = 1 + c o s 2 ( 5 θ ) é:

Lembrando que como estamos utilizando coordenadas polares os valores de r são positivos.

Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornce extamente a área da curva. Mas a curva deste problema é dada em coordenadas polares.

Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Passo 2

Os limites de integração podemos encontrar a partir do gráfico. A linha que forma a fronteira do gráfico começa em ( 1.4 ,   0 ) e da uma volta inteira, ou seja, percorreu um ângulo θ = 2 π   r a d .

Passo 3

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ 2 π e substituindo   r = 1 + c o s 2 ( 5 θ ) , obtemos:

A = ∫ 0 2 π 1 2 ( 1 + c o s ² 5 θ ) d θ = 1 2 ∫ 0 2 π ( 1 + c o s ² 5 θ )   d θ  

Podemos usar a propriedade trigonométrica: c o s 2 θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π [ 1 + 1 2 1 + cos ⁡ 10 θ ] d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 3 2 + 1 2 cos ⁡ 10 θ   d θ

A = 1 2 ∙ 3 2 θ + 1 20 s e n   10 θ 0 2 π = 1 2 ∙ 3 π + 0 - 0 + 0 = 3 2 π

Resposta

A = 3 2 π

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