Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Queremos encontrar a área da seguinte região sombreada:

Repara que essa região é a curva 2 y - y 2 menos a curva y 2 - 4 y ?!

Isso porque a curva da direita tem valores maiores de x quando comparados a curva da esquerda. Logo, se subtraímos uma da outra vamos ter um x positivo.

Temos então:

2 y - y 2 - y 2 - 4 y = - 2 y 2 + 6 y

Mas pra calcular uma área precisamos integrar a função com os limites de integração. Certo?!

Eles vão ser os y , nos pontos de intersecção entre as curvas:

l i m i t e   i n f e r i o r → 0

l i m i t e   s u p e r i o r → 3

Agora escrevemos a integral:

∫ 0 3 - 2 y 2 + 6 y   d y

Sabemos que temos que integrar com respeito a y pois as curvas estão “de ladinho”!

Passo 2

Agora integramos:

∫ 0 3 - 2 y 2 + 6 y   d y = - 2 y 3 3 + 6 y 2 2 0 3

Aplicando os limites de integração:

- 2 y 3 3 + 6 y 2 2 0 3 = - 2 3 3 3 + 6 3 2 2 - - 2 0 3 3 + 6 0 2 2

= - 18 + 27 = 9

A = 9

Prontinho!

Resposta

A = 9

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