Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá o seguinte gráfico:

E pede para acharmos a área da região sombreada!

É importante lembrar que a área entre as curvas é dada pela integral da função que está em cima menos a função que está em baixo. Ou seja:

5 x - x 2 - x = 4 x - x 2

Os limites de integração serão 0 e 4 pois este é intervalo no eixo x que delimita a região!!!

Passo 2

Assim, a área pedida será

A = ∫ 0 4 4 x - x 2   d x

Integrando:

∫ 0 4 4 x - x 2   d x = 2 x 2 - x 3 3 0 4

Aplicando os limites de integração:

A = 2 4 2 - 4 3 3 - 2 0 2 - 0 3 3 = 2 × 16 - 64 3 - 0 = 32 - 64 3 = 96 - 64 3

A = 32 3

Prontinho!

Resposta

A = 32 3

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