Enunciado

Calcule a integral definida.

int_0^((pi)/(2)) cos x s e n (s e n x) d x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Devemos calcular a seguinte integral:

int_0^((pi)/(2)) cos x sin (sin x) d x

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x , podemos então usar a mudança de variável:

u = sin x

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de u deve esta dentro da integral.

Derivamos:

(d u)/(d x) = cos x -> d x = (1)/(cos x) d u

Também precisamos alterar os limites de intergração:

u = sin (pi)/(2) = 1

u = sin 0 = 0

Fazendo a substituição a integral fica:

int_0^1 cos x sin (u) (1)/(cos x) d u = int_0^1 sin (u) d u

Passo 2

Agora integramos:

int_0^1 sin (u) d u = [- cos u]_0^1

Aplicamos os limites de integração:

[- cos u]_0^1 = - cos 1 - (- cos 0)

= - cos 1 + 1

Temos então:

int_0^((pi)/(2)) cos x s e n (s e n x) d x = 1 - cos x

Prontinho!

Resposta

int_0^((pi)/(2)) cos x s e n (s e n x) d x = 1 - cos x

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