Enunciado

Encontre a área da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo x .

y = x ,     1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

E aí, tudo joia?

Nessas de calcular área de superfície da curva girando em torno do eixo x a gente usa essa fórmula aqui:

S = ∫ c d 2 π y 1 + d y d x 2   d x

Beleza, vamos aplicar isso na nossa função e intervalo então!

Passo 2

Derivando a função a gente tem:

y ' = 1 2 x

Aí nossa integral fica:

S = ∫ 1 4 2 π x   1 + 1 2 x 2   d x

S = ∫ 1 4 2 π x 1 + 1 4 x   d x

Passo 3

Vamos dar uma mexidinha nisso aí agora...

S = ∫ 1 4 2 π x   4 x + 1 4 x   d x

S = ∫ 1 4 2 π x 4 x + 1 2 x   d x

S = π ∫ 1 4 4 x + 1   d x

Prontinho! Agora a gente resolve a integral com uma substituição simples:

u = 4 x + 1 → d u = 4 d x → d u 4 = x

Aí fica:

π ∫ d u 4   u =   π 4 2 3 u 3 2 = π 6 u 3 2

Voltando para x :

S = π 6 4 x + 1 3 2 1 4

S = π 6 17 17 - 5 5

E... essa é a área! 😊

Resposta

S = π 6 17 17 - 5 5

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