Enunciado

Encontre a área da superfície gerada quando a curva do Exercício 34 gira em torno do eixo x .

Passo 1

Então galera, a curva do Exercício 34 é a seguinte função:

f x = x 2

Show! Para calcularmos a área da superfície gerada quando essa curva gira em torno do eixo x devemos utilizar a seguinte relação, assim como visto na seção 6.5 do Anton, saca só:

S = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + f ' x 2 d x

No qual f ' x é a derivada da curva em questão! Sendo assim, a integral que devemos calcular é:

f ' x = 2 x

S = 2 π ∫ 0 1 x 2 1 + 4 x 2 d x

Então vamos pra cima!

Passo 2

Para resolvermos essa integral que estabelecemos no passo anterior, vamos utilizar uma substituição trigonométrica do tipo:

x = a . tan ⁡ θ

Pois a raíz que aparece pra gente é do tipo:

a 2 + x 2

Se compararmos essa raíz acima com a que aparece no nosso integrando, teremos:

a = 1

2 x = 1 . tan ⁡ θ ⇒ x = 1 2 tan ⁡ θ

E disso tiramos que:

d x = 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo na nossa integral, teremos:

2 π ∫ 0 1 x 2 1 + 4 x 2 d x = 2 π ∫ 0 1 1 4 tan 2 ⁡ θ 1 + 4 1 4 tan 2 ⁡ θ 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Utilizando a relação trigonométrica 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ e simplificando o que for possível, teremos que:

1 4 π ∫ 0 1 tan 2 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ

Utilizando a relação novamente, teremos:

1 4 π ∫ 0 1 tan 2 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 4 π ∫ 0 1 sec 2 ⁡ θ - 1 sec 3 ⁡ θ d θ

1 4 π ∫ 0 1 sec 2 ⁡ θ - 1 sec 3 ⁡ θ d θ = 1 4 π ∫ 0 1 sec 5 ⁡ θ - sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 3

A integral acima nos cede como resultado o seguinte, pessoal:

1 4 π ∫ 0 1 sec 5 ⁡ θ - sec 3 ⁡ θ d θ = π 4 1 4 sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ - 1 8 sec ⁡ θ tan ⁡ θ - 1 8 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ 1 0

Da substituição trigonométrica que fizemos no passo 2 conseguimos modificar o intervalo de integração, se liga:

1 = 1 2 tan ⁡ θ

∴ θ = a r c tan ⁡ 2

Agora para o intervalo inferior:

0 = 1 2 tan ⁡ θ

∴ θ = 0

Então nossos intervalos viraram:

π 4 1 4 sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ - 1 8 sec ⁡ θ tan ⁡ θ - 1 8 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ a r c tan ⁡ 2 0

Aplicando esses intervalos, teremos que a área da superfície gerada será:

S = π 32 18 5 - ln ⁡ 2 + 5   u . a

E esse é o nosso resultado! 😉

Resposta

S = π 32 18 5 - ln ⁡ 2 + 5   u . a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios ∫ 0 3 2 1 1 - y 2 5 2d y , calcule as integrais fazendo uma substituição (possivelmente trigonométrica) e, em seguida, aplique uma fórmula de redução
Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.4. ∫ 0 2 d x 8 + 2 x 2
Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.3. ∫ - 2 2 d x 4 + x 2
Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.5. ∫ 0 3 2 d x 9 - x 2
Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.6. ∫ 0 1 2 2 2 d x 1 - 4 x 2