Calcule a integral :

∫ d x x x 2 + 1 2  

Passo 1

Galera, o primeiro passo em questões de integral é identificar o método de integração que devemos utilizar para resolver a integração.

Show! Sabendo disso, o que devemos fazer para resolver a integral acima? Será que podemos utilizar uma substituição trigonométrica??

A resposta é sim!!!!

Lembre que:

x 2 + a 2 → x = atan ⁡ θ

x 2 + a 2   → x 2 = a 2 tan 2 ⁡ θ → x = a tan ⁡ θ

Então, vamos substituir, beleza????

x = tan ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

∫ sec 2 ⁡ θ d θ tan ⁡ θ ( tan 2 ⁡ θ + 1 ) 2

Passo 2

Agora, precisamos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

v = 1 + u   → d v = d u

∫ sec 2 ⁡ θ d θ tan ⁡ θ ( sec 2 ⁡ θ ) 2 =   ∫ d θ tan ⁡ θ sec 4 ⁡ θ =   ∫ d θ tan ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ =   ∫ cos 3 ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ =   ∫ 1 - sin 2 ⁡ θ sin ⁡ θ . sin ⁡ θ   d θ

= ln ⁡ sin ⁡ θ - 1 2 sin 2 ⁡ θ + C

Passo 3

Agora, devemos voltar para a variável “x”, beleza??

= ln ⁡ x x 2 + 1 -   1 2 x x 2 + 1 2 + C

Resposta

∫ d x x x 2 + 1 2   = ln ⁡ x x 2 + 1 -   1 2 x x 2 + 1 2 + C  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados