1-26. Calcule a integral.

24. ∫ 2 2 2 x 2 - 4 x d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

x = a . sec ⁡ θ

Pois a raíz que aparece pra nós é do tipo:

x 2 - a 2

Comparando a raíz da nossa integral, que é 2 x 2 - 4 com a raíz acima, teremos que:

2 x = 2 . sec ⁡ θ

∴ x = 2 . sec ⁡ θ

E disso tiramos:

d x = 2 . sec ⁡ θ . tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ 2 2 2 x 2 - 4 x d x = ∫ 2 2 4 sec 2 ⁡ θ - 4 2 . sec ⁡ θ 2 . sec ⁡ θ . tan ⁡ θ d θ

Simplificando, teremos:

∫ 2 2 4 sec 2 ⁡ θ - 1 2 . sec ⁡ θ 2 . sec ⁡ θ . tan ⁡ θ d θ = 2 ∫ 2 2 tan 2 ⁡ θ d θ

Fazendo tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1 , teremos que:

2 ∫ 2 2 tan 2 ⁡ θ d θ = 2 ∫ 2 2 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Que é uma integral bem tranquila de se resolver, não é mesmo? Qual função que quando derivada resulta em sec 2 ⁡ θ ? É a tan ⁡ θ , certo? Dessa forma, teremos:

2 ∫ 2 2 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ = 2 tan ⁡ θ - θ 2 2

Passo 3

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de θ e queremos em termos de x . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

tan ⁡ θ = x 2 - 2 2

Ademais:

θ = a r c cos ⁡ 2 x

Substituindo no nosso resultado, teremos:

2 tan ⁡ θ - θ 2 2 = 2 x 2 - 2 2 - a r c cos ⁡ 2 x 2 2

Aplicando os intervalos de integração:

2 x 2 - 2 2 - a r c cos ⁡ 2 x 2 2 = 2 - π 2

∴ ∫ 2 2 2 x 2 - 4 x d x = 2 - π 2

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

∫ 2 2 2 x 2 - 4 x d x = 2 - π 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados