Enunciado

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.

A parte da superfície z = e - x 2 - y 2 que está acima do círculo x 2 + y 2 ≤ 4

Passo 1

Galera, lembre-se que neste caso podemos expressar a área da superfície como:

A S = ∫ ∫ D   1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ ∫ D   1 + - 2 x e - x 2 - y 2 2 + - 2 y e - x 2 - y 2 2   d A = ∫ ∫ D   1 + 4 x 2 + y 2 e - 2 - x 2 + y 2   d A

Passo 2

Show! Usando coordenadas polares, nossa integral fica assim:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 1 + 4 r 2 e - 2 r 2   r   d r   d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 r 1 + 4 r 2 e - 2 r 2   d r = 2 π ∫ 0 2 r 1 + 4 r 2 e - 2 r 2   d r

Utilizando um sistema de computação algébrica, estimamos a integral e nosso resultado dá:

A S ≈ 13,9783

Resposta

A S ≈ 13,9783

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Determine a área da superfície.A parte do plano 2 x + 5 y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 9 .
Determine a área da superfície.A superfície z = 2 3 x 3 2 + y 3 2 , 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 .
Determine a área da superfície.A parte da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Determine a área da superfície.A parte do plano com equação vetorial r → u , v = 1 + v , u - 2 v ,3 - 5 u + v que é dada por 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 1 . ,
(a) Mostre que as equações paramétricas x = ac o s hu cos ⁡ v, y = bc o s hus e nv, z = cs e n hu, representam um hiperboloide de uma folha.(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o