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Utilize um sistema de computação algébrica para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D e tem a densidade dada.

D é limitada pelo cardioide r = 1 + cos ⁡ θ ; ρ ( x ,   y ) = x y

Passo 1

Galera, pra determinar cada uma dessas coisas, vamos montar suas respectivas integrais, e então usar um sistema de computação algébrica pra calcular pra gente essas integrais, beleza?

m = ∬ D   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ r 2   d r   d θ = 5 π 3

x - = 1 m ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = 3 5 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ r 3 cos ⁡ θ   d r   d θ = 21 20

y - = 1 m ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = 3 5 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ r 3   s e n   θ   d r   d θ = 0

Então o centro de massa vai ser:

x ,   - y - = 21 20 , 0

Passo 2

Show! Agora vamos calcular os momentos de inércia:

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ r 4   s e n 2 θ   d r   d θ = 33 π 40

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ r 4 cos 2 ⁡ θ   d r   d θ = 93 π 40

I 0 = I x + I y = 63 π 20

Resposta

m = 5 π 3

x ,   - y - = 21 20 , 0

I x = 33 π 40

I y = 93 π 40

I 0 = 63 π 20

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